Entscheiden ob Abbildung von Polynomen linear

27.10.2015, 19:54

UZHbiomensch

Entscheiden ob Abbildung von Polynomen linear

Meine Frage:
Hallo zusammen,

die zu lösende Aufgabe lautet: Sei $\begin{eqnarray*} P_{n} \end{eqnarray*}$ der $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Vektorraum aller Polynomen in einer Variable mit reellen Koeffizienten vom Grade höchstens n. Entscheide ob folgende Abbildungen linear sind.

a) $\begin{eqnarray*} T: P_{7} \Rightarrow P_{7}, p(t) \Rightarrow 2p''(t) + 2p'(t) + 5p(t) \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} S: P_{7} \Rightarrow P_{7}, p(t) \Rightarrow t^2p''(t) + p(t) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Meine Ansätze:

ich weiss, dass folgendes erfüllt sein muss damit eine Abbildung linear ist, weiss jedoch nicht wie ich dies auf die Polynome anwenden kann:

$\begin{eqnarray*} f(x + y) = f(x) + f(y) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(\lambda * x) = \lambda *f(x) \end{eqnarray*}$

Ich wäre sehr froh wenn mir jemand weiterhelfen könnte, ich muss unbedingt genügend Punkte machen bei dieser Übungsserie.
Vielen Dank schon im Voraus.

28.10.2015, 09:02

klarsoweit

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RE: Entscheiden ob Abbildung von Polynomen linear

Zitat:

Original von UZHbiomensch
$\begin{eqnarray*} f(x + y) = f(x) + f(y) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(\lambda * x) = \lambda *f(x) \end{eqnarray*}$

So weit, so gut. Nun mußt du das auf die Aufgabe anwenden, das heißt, du mußt erstmal die Variablen korrekt zuordnen, sprich: was sind f, x und y im Bezug auf die Aufgabe?

28.10.2015, 13:09

mathebanause

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bisher habe ich damit folgendes erreichen können:
a)

zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} p(t+s) = p(t) + p(s) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p(t+s) \Rightarrow 2p''(t+s) +2p'(t+s) + 5p(t+s) = 2p''(t) + 2''(s) + 2p'(t) + 2p'(s) + 5p(t) + 5p(s) \Rightarrow p(t) + p(s) \end{eqnarray*}$

zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} p(\lambda t) = \lambda p(t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p(\lambda t) \Rightarrow 2p''(\lambda t) + 2p'(\lambda t) +5p(\lambda t) = 2 \lambda p''(t) + 2\lambda p'(t) + 5 \lambda p(t) \Rightarrow \lambda p(t) \end{eqnarray*}$

daher hätte ich gesagt die Abbildung wäre linear, jedoch bin ich misstrauisch, da es ja heisst 7ten Grades also haben wir darin t^7 was ja dann mit $\begin{eqnarray*} (t+s)^7 \neq t^7 + s^7 \end{eqnarray*}$ nicht zu dieser Schlussfolgerung führen kann..
hier stecke ich nun fest, da ich nicht weiss ob ich zu weit denke oder einfach das ganze gar nicht verstanden habe.

Vielen dank für eure weitere Hilfe UZHbiomensch aka mathebanause

28.10.2015, 15:00

Leopold

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Die Frage von klarsoweit hast du entweder nicht beachtet oder gänzlich mißverstanden:

Zitat:

Original von klarsoweit
du mußt erstmal die Variablen korrekt zuordnen, sprich: was sind f, x und y im Bezug auf die Aufgabe?

Ich weiß gar nicht, wo ich anfangen soll. Was du jedenfalls tust, ist völlig sinnfrei. Für die $\begin{align*} x \end{align*}$ und $\begin{align*} y \end{align*}$ hier mußt die Polynome selbst als Objekte nehmen. Und $\begin{align*} f \end{align*}$ wird durch $\begin{align*} T \end{align*}$ ersetzt. Vielleicht schreiben wir die Abbildung einmal ordentlich auf:

$\begin{align*} T(p) = 2p'' + 2p' + 5p \end{align*}$

Das ist eine andere Schreibweise für $\begin{align*} T: \ p \mapsto 2p''+2p'+5p \end{align*}$ . Dein Doppelpfeil hat da jedenfalls nichts verloren.

Soweit die Abbildung bei a). Nochmals: Die Polynome selbst (!!!) sind hier die Eingaben von $\begin{align*} T \end{align*}$ .

Und jetzt mußt du zum Beispiel $\begin{align*} T(p+q) = T(p) + T(q) \end{align*}$ nachweisen. Aber nachweisen! Nicht von vorneherein als richtig konstatieren!

Während des Beweises brauchst du bekannte Regeln der Differentialrechnung: die Summenregel und die Faktorregel. Die Polynomvariable $\begin{align*} t \end{align*}$ - laß sie weg, sie stört hier nur.

28.10.2015, 16:23

mathebanause

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Ok, vielen Dank, das hat mir extrem weitergeholfen! Habe es nun geschafft smile

Liebe Grüsse aus der Schweiz
mathebanause

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