Vollständige Induktion bei Mengen

27.10.2015, 21:35

s_punkt

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Vollständige Induktion bei Mengen

Meine Frage:
Ich soll per vollständiger Induktion beweisen, dass gilt:
$\begin{eqnarray*} (\bigcap_{k=1}^{n} M_{k})\cup M = \bigcap_{k=1}^{n}(M_{k}\cup M) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ansätze sind bei mir nicht vorhanden, da ich nicht weiß, was diese Schnittmengen von k=1 bis n bedeuten. Gibt es eine Möglichkeit das anders zu formulieren?

27.10.2015, 23:48

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RE: Vollständige Induktion bei Mengen
Es ist $\begin{eqnarray*} \bigcap_{k=1}^{1} M_{k} = M_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \bigcap_{k=1}^{n+1}M_{k}:=(\bigcap_{k=1}^n M_k ) \cap M_{n+1} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N}, n\geq 1 \end{eqnarray*}$
Wenn das noch nicht hilft, schreib dir die Sache für n=1, n=2 hin.

28.10.2015, 22:13

s_punkt

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Also wäre die Induktion dann so zu machen oder?:

$\begin{eqnarray*} (\bigcap_{k=1}^{n} M_{k})\cup M= \bigcap_{k=1}^{n} (M_{k}\cup M) \end{eqnarray*}$

Für n=1 ist es dann: $\begin{eqnarray*} (\bigcap_{k=1}^{1} M_{k})\cup M= \bigcap_{k=1}^{1} (M_{k}\cup M) \Longrightarrow M_{1}\cup M=M_{1}\cup M \end{eqnarray*}$
Nun muss ich das ganze für n+1 mit n größer 1 zeigen: $\begin{eqnarray*} (\bigcap_{k=1}^{n+1} M_{k})\cup M= \bigcap_{k=1}^{n+1} (M_{k}\cup M) \Longrightarrow (\bigcap_{k=1}^{n} M_{k})\cap M_{n+1}\cup M= \bigcap_{k=1}^{n} (M_{k}\cup M) \cap M_{n+1} \Longrightarrow (M_{1}\cap M_{2}\cap ...\cap M_{n})\cap M_{n+1}\cup M=(M_{1}\cup M\cap M_{2}\cup M\cap...\cap M_{n}\cup M)\cap M_{n} \end{eqnarray*}$
Und nun komme ich nicht mehr weiter Hammer

Hammer

29.10.2015, 00:19

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Du wirst den Fall n=2 auch noch explizit beweisen müssen - wenn die entsprechende Aussage nicht schon in der Vorlesung dran war. Ich sehe jedenfalls gerade nicht, wie es ohne geht.

29.10.2015, 13:56

s_punkt

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Wieso ich das für n=2 machen muss seh ich nicht, aber ich hab das gemacht und dadurch gesehen, dass ich die Mengen ja durch die Gesetze ändern kann. Also wenn das das Ziel davon war smile

smile

Wenn ich an oben anknüpfe würde es ja dank Assoziativgesetz bzw Kommutativgesetz der Mengen so gehen:
$\begin{eqnarray*} (M_{1}\cap M_{2}\cap ...\cap M_{n})\cup M\cap M_{n+1} = (M_{1}\cup M\cap M_{2}\cup M\cap ...\cap M_{n}\cup M)\cap M_{n+1} \Longrightarrow (\bigcap_{k=1}^{n}(M_{k}\cup M)\cap M_{n+1} = (\bigcap_{k=1}^{n}(M_{k}\cup M)\cap M_{n+1} \qed \end{eqnarray*}$
Ist das so richtig? Hammer

Hammer

29.10.2015, 21:15

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Ich weiß offen gesagt nicht, was du da gerade tust.
Zunächst ist ein Ausdruck der Form $\begin{eqnarray*} A\cup B \cap C \end{eqnarray*}$ nicht eindeutig. Soll das $\begin{eqnarray*} (A\cup B) \cap C \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} A\cup (B \cap C) \end{eqnarray*}$ sein?

Für die Aufgabe dachte ich an
$\begin{eqnarray*} (\bigcap_{k=1}^{n+1} M_{k})\cup M = ((\bigcap_{k=1}^{n} M_{k})\cap M_{n+1} ) \cup M <br /> = ((\bigcap_{k=1}^{n}M_k) \cup M) \cap (M_{n+1} \cap M ) \end{eqnarray*}$
und an der Stelle benutzt du den Sachverhalt, den du mit dem Fall n=2 explizit bewiesen hast.
Jetzt nur noch Induktionsvoraussetzung und Definition von $\begin{eqnarray*} \bigcap_{k=1}^{n+1} \end{eqnarray*}$ benutzen und fertig.

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29.10.2015, 22:03

s_punkt

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Sorry wenn ich dich jetzt zur Weißglut treibe weil ich nicht drauf komme, aber für den Fall n=2 habe ich doch bewiesen:
$\begin{eqnarray*} (\bigcap_{k=1}^{2}M_{k})\cup M= \bigcap_{k=1}^{2}(M_{k}\cup M) \Longrightarrow (M_{1}\cap M_{2})\cup M = (M_{1}\cup M)\cap (M_{2}\cup M) \longrightarrow (Distributivgesetz): (M_{1}\cup M)\cap (M_{2}\cup M) = (M_{1}\cup M)\cap (M_{2}\cup M) \qed \end{eqnarray*}$
Wie wende ich das jetzt darauf an?

29.10.2015, 23:18

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Der Fall n=2 sagt doch mit anderen Bezeichnungen nur folgendes: Für drei beliebige Mengen $\begin{eqnarray*} A,B,M \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} (A\cap B)\cup M = (A\cup M)\cap (B\cup M) \end{eqnarray*}$
Wende das an auf
$\begin{eqnarray*} A=\bigcap_{k=1}^{n} M_{k}, B= M_{n+1} \end{eqnarray*}$

29.10.2015, 23:41

s_punkt

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Hast du das mit dem Umformen, welches du gerade meinst, nicht schon hier getan?

Zitat:

Original von URL
Für die Aufgabe dachte ich an
$\begin{eqnarray*} (\bigcap_{k=1}^{n+1} M_{k})\cup M = ((\bigcap_{k=1}^{n} M_{k})\cap M_{n+1} ) \cup M <br /> = ((\bigcap_{k=1}^{n}M_k) \cup M) \cap (M_{n+1} \cap M ) \end{eqnarray*}$

Weil soweit komme ich ja noch mit, dass das für die linke Seite der o.g. Gleichung ist. Aber wie ich das jetzt auf die rechte Seite umforme versteh ich nicht, weil Ziel ist ja zu zeigen, links gleich rechts.

29.10.2015, 23:45

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Du fragtest explizit nach dem Fall n=2. Also ging ich davon aus, dass es an der Stelle hakt. Die beiden Gleichheitszeichen sind also klar?

Danach wendest du die Induktionsvoraussetzung auf den blauen Teil an
$\begin{eqnarray*} (\bigcap_{k=1}^{n+1} M_{k})\cup M = ((\bigcap_{k=1}^{n} M_{k})\cap M_{n+1} ) \cup M <br /> = \textcolor{blue}{((\bigcap_{k=1}^{n}M_k) \cup M)} \cap (M_{n+1} \cap M ) \end{eqnarray*}$

29.10.2015, 23:57

s_punkt

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Blöde Frage, aber die Induktionsvoraussetzung ist doch, wenn das gesamte Konstrukt für 1 bzw. auch 2 gilt, dann muss es auch für ein Element m $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gelten, dass größer 1 bzw 2 ist oder?

30.10.2015, 00:02

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Nein, das ist nicht die Induktionsvoraussetzung. Schau dir das Prinzip der vollständigen Induktion nochmal an.

30.10.2015, 00:07

s_punkt

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Hab ich gemacht, aber daraus schließe ich auch nur, dass der Induktionsschluss sagt, wenn es für bspw. 1 gilt, dann gilt es auch für ein beliebig anderes m aus den natürlichen Zahlen.
Stimmt das soweit?

30.10.2015, 00:41

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Nicht wirklich. Im Induktionsschluss zeigst du, dass aus der Induktionsvoraussetzung:
Für $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} (\bigcap_{k=1}^{n} M_{k})\cup M = \bigcap_{k=1}^{n}(M_{k}\cup M) \end{eqnarray*}$
die Aussage
$\begin{eqnarray*} (\bigcap_{k=1}^{n+1} M_{k})\cup M = \bigcap_{k=1}^{n+1}(M_{k}\cup M) \end{eqnarray*}$ folgt.

30.10.2015, 00:49

s_punkt

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Das ist einleuchtend wenn ich das jetzt so lese. Hammer

Hammer

Und soweit hab ich's dann auch gerafft. Ich danke dir, vor allem für die späte Antwort, weil ich muss das ganze nachher in der Übung abgeben. Big Laugh

Big Laugh

30.10.2015, 01:01

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