LGS: keine/eine eindeutige/unendlich viele Lösungen

28.10.2015, 10:28	314	Auf diesen Beitrag antworten »
LGS: keine/eine eindeutige/unendlich viele Lösungen Meine Frage: Moin! Hab mir grad alte Klausuren durchgeschaut und bin auf folgendes Bsp gestoßen und bräuchte jetzt ein büsschen Hilfe: Sei n größergleich 2. x1-x2=1 x2-x3=1 . . . x(n-1)-xn=1 a xn - x1= b Für welche a,b e R besitzt dad LGS keine/eine eindeutige/unendlich viele Lösungen. Meine Ideen: Also für 'keine' is es einfach, man versucht einfach in der letzten Zeile einen Widerspruch zu basteln: b =/=0 -x1+a xn=0 a xn=x1 a=x1/xn 'Unendlich viele' hab ich so gelöst: Dafür muss die Anzahl m der Gleichungen kleiner als die Anzahl n der Unbekannten sein, also versuch ich die letzte Zeile zu eliminieren: b=0 -x1+a xn=0 a xn=x1 a=x1/xn 'Eine eindeutige' is das wo ich nicht weiterkomm. Ich hab jetzt mal b e R bel. gesetzt, und mir folgendes überlegt: -x1+a xn =b a xn = b+x1 a= (b+x1)/xn Aber ich darf doch das a nicht durch das b angeben... Oder? Und stimmt das überhaupt, was ich mir da zusammengebastelt habe? Es wäre toll, wenn mir jemand beim finden der Lösung helfen könnte!
28.10.2015, 11:50	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Vermutlich ist alles falsch, was Du gemacht hast. Tipp: Schreibe das LGS für n=3 und wende den Gauß-Algorithmus an.
28.10.2015, 12:58	314	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: LGS: keine/eine eindeutige/unendlich viele Lösungen Du hast natürlich recht (was auch erklärt warum ich immer schwachsinn erhalten habe wenn ichs mit zahlen probiert hab). Hab deinen rat mal mit n=3 und ein paar anderen zahlen probiert. Ich komm immer auf so eine Form: 1 0 ... 0 -1\|n-1 0 1 ... 0 -1\|n-2 0 ........... -1\|n-3 0............ -1\|n-4 . \| 0 0 ... 0 a-1\|b+(n-1) Dann wäre für keine Lösung: a=1 b=/=1-n Unendlich viele Lösungen: a=1 b=1-n Und eine eindeutige Lösung: a=/=1 b e R .... oder?
28.10.2015, 13:14	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das LGS ist völlig falsch, so wird das nie was. Für n=3 sieht das so aus $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & \| & 1 \\ 0 & 1 & -1 & \| & 1 \\ -1 & 0 & a & \| & b \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ... und jetzt musst Du rechnen, nicht nur raten.
28.10.2015, 19:31	314	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum ist das falsch?! Für n=3 $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & \| & 1 \\ 0 & 1 & -1 & \|& 1 \\ -1 & 0 & a & \|& b \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ Gut, das Form ich nach GJ ein bisschen um und komme dann auf die folgende Form: $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 1 & 0& -1& \| & 2 \\ 0 & 1 & -1 & \|& 1 \\ 0 & 0 & a-1 & \|& b+2 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ Wenn ich das jetzt für ein LGS mit beliebig großem n mache, beginne ich mit einer Matrix die so aussieht: $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & ... &...& 0&\|&1 \\0&1&-1&0&...&0& \|& 1 \\ ...&...&...&...&...&...&\|&... \\ <br /> 0&...&...&0&1&-1&\|&1\\-1&0&...&...&0&a&\|&b\end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ Wenn ich diese Matrix nun wieder nach GJ umforme, komme ich schließlich und endlich irgendwann zu dieser Form (was fast das ist was ich unten geschrieben habe, wenn auch leicht verkrüppelt, weil am Handy) $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 1 &0 & 0 & ... &0& -1&\|&n-1 \\0&1&0&...&0&-1& \|& n-2 \\ ...&...&...&...&...&...&\|&... \\ <br /> 0&0&0&...&1&-1&\|&...\\0&0&0&...&0&a-1&\|&b+(n-1)\end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ Wenn ich jetzt meine Lösungen betrachten will nehme ich mir jeweils die letzte Zeile heraus: Keine Lösung: durch Widerspruch $\begin{eqnarray} <br /> a=1<br /> b\neq 1-n<br /> \end{eqnarray}$ Unendlich viele Lösungen: durch Elimination der letzten Zeile: $\begin{eqnarray} <br /> a=1<br /> b=1-n<br /> \end{eqnarray}$ Eine eindeutige Lösung: $\begin{eqnarray} <br /> a \neq 1<br /> b \in \mathbb R <br /> \end{eqnarray}$ oder bin ich jetzt komplett aufm holzweg?
28.10.2015, 19:55	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, jetzt verstehe ich, was Du gemacht hast. Weil du meinem Vorschlag gefolgt bist, kann das nur richtig sein. Ich konnte das nicht erkennen, denn ich dachte, du habest die ursprüngliche Matrix falsch aufgeschrieben. Mein Fehler ... entschuldige bitte.
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28.10.2015, 20:53	314	Auf diesen Beitrag antworten »
Haha, na dann is ja gut! (Sorry, wie gesagt, am Handy is das alles ein bissl doofer... Und dass es den Formeleditor gibt hab ich dummerweise grad erst gemerkt ) Großes Merci, ohne dich wäre ich da wirklich nicht hingekommen!

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