Endliche Gruppe - Index - Normalteiler - ungerade Ordnung

Neue Frage »

YouMakeMeCrazy Auf diesen Beitrag antworten »
Endliche Gruppe - Index - Normalteiler - ungerade Ordnung
Hallo liebe Community,
die Algebra Übungen von dieser Woche haben es voll in sich. Ich komme einfach nicht klar damit.

Aufgabe:
Sei G eine endliche Gruppe mit ungerader Ordnung und H eine Untergruppe vom Index 3 oder 5.
Beweisen sie, dass H Normalteiler von G ist.


Ich hab mir jetzt erst einmal alle Definitionen etc noch mal angesehen und nachgearbeitet , aber dennoch keine Ahnung wie ich da rangehen soll.

Mein Wissen/Versuche:
- Der Index beschreibt ja die Anzahl der LNK von H in G. Also (G:H)=3 oder 5
- Eine Untergruppe ist Normalteiler, wenn die LNK = RNK ist bzw wenn ghg^-1 Element von H ist
- Die Ordnung von H teilt die Ordnung von G nach Lagrange, also: |H| teilt |G|

Ich frage mich nun wie ich an den Beweis heran gehe.
Was kann man daraus schließen, dass die Gruppe eine ungerade Ordnung hat?
Automizer Auf diesen Beitrag antworten »

Hey YouMakeMeCrazy,
hier muss man, denk ich, einiges tun.
Sei mit . Dann hast du in der anderen Aufgabe festgestelt, dass definiert durch ein Homomorphismus ist. Das heißt teilt . Schau dir mal den Kern genauer an. Zeige

. Weiter weißt du nach dem Indexsatz. Verbinde nun die Aussagen, dass 6 und gleichzeitig teilt . Schlussfolgere damit dann , womit du gezeigt hättest, dass .

Sei nun . Dann ist wieder definiert durch ein Homomorphismus. Weiter gilt

teilt und gleichzeitig . Also muss gelten . Verifiziere, dass !
Wenn nun , dann überlege dir warum zyklisch ist.
Wenn das gezeigt ist, dann ist abelsch, womit alle Untergruppen Normalteiler sind. Es folgt

und damit . Wenn die letzte Implikation nicht klar ist versuchen direkt zu beweisen.
YouMakeMeCrazy Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort Automizer.

Ich konzentriere mich nun erst einmal auf den Index 3.
Habe mich nun noch mal damit befasst, deine Hinweise gelesen und die Bücher gewälzt.

Da kam mir die Idee, dass ich doch auch beweisen könnte das der kern ein Normalteiler ist von G, was ein recht simpler Beweis ist.

Daraus folgt ja dann, dass K Normalteiler von G ist und somit auch Untergruppe von G.
jetzt müsste ich nur zeigen das H=K ist, wie du es auch vorgeschlagen hattest, richtig?

Da ich den Beweis, dass K= die Vereinigung von x^-1Hx ist und somit Untergruppe von H, recht schwer finde bzw da hänge/nicht weiß wie.

Also bleibt zu zeigen, dass K = H ist.
Ich verstehe jedoch nicht, wie man aus |G:K| teilt 6 und |G| teilt folgern kann dass H=K ist.
Auf Anhieb hätte ich an den Satz von Lagrange gedacht, dass die Untergruppe die Ordnung der Übergruppe teilt.
Automizer Auf diesen Beitrag antworten »

Punkt 1) Dir muss klar sein, dass .
Vielleicht als Hilfe: Sei . Dann gilt . Also folgt . Damit gilt also

. Wenn , dann steht da, dass für alle folgt . Also ist es auch im Schnitt.

Der Kern ist außerdem immer ein Normalteiler. Wenn nicht klar, dann zeigen^^.

Schau dir nochmal den Indexsatz an und verifiziere .

LG
YouMakeMeCrazy Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Automizer, Punkt 1 ist mir nun auch klar. Vielen Dank dafür schonmal! smile

Während ich auf deine Antwort gewartet hatte, habe ich die Definitionen und Folgerungen nochmal durchgearbeitet, weil ich merkte das da Lücken sind.
Dabei bin ich mittlerweile auch darauf gestoßen das der Kern immer Normalteiler ist.

Somit ist mir nun auch klarer warum wir diesen Weg des Beweises gehen, weil dadurch das K Normalteiler ist und wir zeigen dass H=K ist, dann ist H ja der Kern und somit Normalteiler von G! smile

Nun Muss ich noch zeigen das H=K ist, also mit den Indexs rechnen.
Wir wissen nun dass aus der Aufgabenstellung gegeben ist dass |G:H| = 3 ist und das dieser Index 6 und |G| teilen muss, wobei letzteres aus dem Satz von Lagrange folgt, da es in diesem ja heißt |G|=|H|*|G:H|.
Aus dem Satz von Lagrange hat man auch die Folgerung: |G:K|=|G:H|*|H:K| (Indexsatz)

Ich glaub ich brauch hier auch noch mal ein Stündchen, da mir was das "rechnen" mit Index angeht noch so ziemlich alles unklar ist und wir auch in der Vorlesung noch nichts dazu hatten.

Aber an sich ist mir schon klar, warum |G:H|=1 <=> G=H gilt.
Nur beweisen muss ich es noch und da fehlt mir im Moment so habe ich das Gefühl wieder Hintergrundwissen smile
Automizer Auf diesen Beitrag antworten »

Nein Nein

Es muss gelten und . Das heißt, du kannst, indem du alle möglichen Teiler von 6 durchgehst den Index bestimmen. Der ist nämlich 3, woraus dann ja die Beahuptung folgt.
Den Rest hast du richtig verstanden. So zeigt man oft, dass Untergruppen Normateiler sind, indem man sie las Kern eines Homomorphismus darstellt. (Jeder Normalteielr ist übrigens auch Kern irgendeines Gruppenhomomorphismus. Überleg dir mal von welchem beispielsweise^^)

Ja ich weiß, dass dieser Index anfangs Probleme bereitet. Betrachte ihn für endliche Gruppen einfach wie folgt

Ist also einfach der Quotinent der beiden Ordnungen, also eig nix schlimmes^^. Dass dieser Quotinet auch die Anzahl der Nebenklassen angibt, liegt an Lagrange.

Wenn . Dann gibt es nur eine Nebenklasse, nämlich welche?

LG
 
 
YouMakeMeCrazy Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok, also bin ich mit dem Beweis für Index 3 eigentlich schon fertig! smile
Danke dir! smile

Wenn |G:H|=1 ist, dann wäre doch die einzige Nebenklasse die Identität oder?
Automizer Auf diesen Beitrag antworten »

Punkt 1) Naja verstehst du warum und daraus nun folgt?

Punkt 2) Die Identität ist eine Abbildung. Wir haben hier Nebenklassen von der Untergruppe , was keine Abbildungen sind, sondern Mengen (ok Abbildung sind auch Mengen, aber hier will ich was ganz anderes hinaus.) WIe sehen denn Nebenklassen aus? Was ist eine Nebenklasse per Definietion? Welche Nebenklasse existiert immer?

Punkt 3) Bist du sicher, dass du verstanden hast?
YouMakeMeCrazy Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe heute morgen versucht den Stoff zu Nebenklassen und Index nachzuarbeiten mittels Skript, Büchern und Internet und da eigentlich gedacht ich hätte es endlich verstanden wie was zusammen hängt, aber scheinbar doch noch nicht so ganz.

Eine Nebenklasse kann Links- oder Rechtsnebenklasse sein.
LNK xH ist die Menge {xh|h Element H} für Rechts dann eben umgekehrt als Hx.

Den Index der LNK/RNK gibt man mit |G:H| an und das ist die Anzahl. Und die Menge der LNK/RNK ist (G:H).
Soweit klingt das ja alles sehr simpel und das ist auch im Kopf so drin, jedoch sind die Zusammenhänge ein wenig, nennen wir es mal schwammig ^^

Zu deinen Punkten:
1) |G:K|=|G:H| |H:K|
Und da wussten wir ja, dass |G:K| 6 teilen muss und zusätzlich |G|.
Dann haben wir ja noch gegeben dass G eine ungerade Ordnung hat, also kommt ja für |G:K| nur 1 und 3 in Frage, damit |G:K| 6 und |G| teilt.
Soweit ist mir das klar, warum die 1 jedoch ausscheidet ist das was mir auch scheinbar an Verständnis für deinen Pkt 2 fehlt. verwirrt

Zu deinem Pkt 3)
Ja ich denke schon, weil wir haben ein Element g aus dem Kern und für dieses gilt gH=H und somit ist der Kern eine Untergruppe von H.
YouMakeMeCrazy Auf diesen Beitrag antworten »

Achso zu Index 5:
Hattest du dich da vertippt? Es müsste doch S_5 sein und nicht S_3, richtig?
Mir ist da natürlich auch wieder klar, dass 5! teilt und auch wieder |G|. Auch dass |G:K| in {1,3,5,15} liegen muss.
Jedoch warum sollte G/K dann zyklisch sein bei 15?
Das alle Untergruppen von abelschen Gruppen Normalteiler sind ist mir dann wieder klar smile


Und eine Definitionsfrage: G/K ist doch die Quotientengruppe, oder?
Automizer Auf diesen Beitrag antworten »

Also zunächst mal. Ist alles so richtig, wie du es verstanden hast.

Für jedes ist auch eine Nebenklasse von . Das heißt die Untergruppe ist immer eine Nebenklasse von sich selbst. Wenn also die einzige Nebenklasse von nur selbst ist, dann bedeutet das doch, dass für alle die Nebenklasse sein muss. Also ist doch für alle .

Warum nun aussscheidet, liegt an dem Indexsatz. Einfach einsetzen.

Mit ist in der Regel immer die Quotientengruppe oder Faktorgruppe.

Warum nun zyklisch ist? Mit Sylow ist das ganz easy zu zeigen. Den habt ihr aber, denk ich, nicht zur Verfügung. Also müssen wir uns die Hände ein wenig schmutzig machen.

Sei . Angenommen, es gibt kein Element der Ordnung 15. Dann muss es ja ein Element mit . Dabei ist , also die Ordnung von . Sofern nun , dann muss es noch ein weiteres Element geben mit . Warum? (Hint: Angenommen, es gibt nur Elemente der Ordnung 5. Sei ein weiteres. Wie sieht dann aus?

Das sollten wir erstmal bearbeiten^^.

LG
YouMakeMeCrazy Auf diesen Beitrag antworten »

Manchmal übersehe bzw vergesse ich in dem Moment echt das simpelste vom simpelsten! ^^

Also die Sylowschen Sätze haben wir bereits behandelt und ich habe sie auch im Groben im Kopf und verstanden, sind teilweise noch Kleinigkeiten denke ich die mir da noch unschlüssig sind.
Aber der Teil, dass eine Gruppe der Ordnung 15 zyklisch ist kenne ich und habe ich sogar bereits bewiesen vor 2 Wochen in einer Übung! smile

Kann man direkt sagen, dass alle zyklischen Gruppen abelsch sind? Oder muss dies gezeigt werden? Ich habe da online bei der Recherche und Nacharbeit sehr oft gelesen dass das halt eine Eigenschaft der zyklischen Gruppen ist.

Danach ist der Beweis für den Index 5 ja auch gelöst und sogar noch "einfacher" als der vom Index 3 smile
Automizer Auf diesen Beitrag antworten »

Ach wie schön, dass ihr Sylow schon hattet. Ich hätt mich bei einem Teil, um zu zeigen, dass Gruppen der Ordnung 15 zyklisch sind, auch echt schwer getan. Naja.

Ich hoffe, du hast verstanden, warum nun dank Sylow zyklisch ist und damit folgt dann ja auch . Dennnoch ist der zweite Teil schon schwerer als der erste, da wir die selben Überlegungen wie im ersten Teil gemacht haben und anschließend sogar noch die Faktorgruppe betrachtet haben.

Dass jede zyklische Gruppe abelsch ist, ist ziemlich trivial. Da du aber gefragt hast, ist es dir noch nicht ganz klar, sodass du das unbedingt nochmal für dich beweisen solltest.(Beweis ist ganz elementar)

Außerdem solltest du die Implikation für dich ruhig noch mal beweisen, damit du die Zusammenhänge besser verstehst.

LG
YouMakeMeCrazy Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ich habe das wirklich verstanden mit den Sylowschen Sätzen.
In unserem Fall ist es glaube, wenn ich mich recht entsinne, der dritte Sylowsche Satz und dessen Folgerung die uns hilft.

Da man 15 auch als 3*5 schreiben kann wobei p=3 und q=5 ist und weiter gilt, dass p<q ist, ist die Gruppe mit der Ordnung 15, also G/K zyklisch.

die zwei Beweise die du mir vorgeschlagen hast werde ich mir morgen bei meinem wöchentlichen Bibliothekstag ansehen und hoffentlich auch problemlos hinbekommen smile

Ich danke dir vielmals für deine Geduld und Hilfe, besonders für deine Erklärungen, dadurch ist mir vieles was Index/NK und Co angeht klarer geworden! smile
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »