Verteilungsfunktion; einfache Rechnung

30.10.2015, 14:44

Justpassingby123

Verteilungsfunktion; einfache Rechnung

Meine Frage:
Also, ich habe eine Dichtefunktion. Daraus soll man die Verteilungsfunktion machen.

Ich schreibe F(x) = \int_{x}^{-oo} \! f(t) \, dt

mache dann einen zweiten Schritt, wo ich f(t) die Formal einfach nur einsetze (Integral nicht gleich auf den Wertebreich ändere).

Moniert wird dann, dass man ein "1 [Wertebereich] (t)" vor dem dt hinzufügen hätte müssen. Könnte das kurz jemand erklären. Danke.

Meine Ideen:
Formaler Schritt ?

30.10.2015, 18:24

HAL 9000

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Wenn ich deine Hieroglyphen richtig deute, soll das $\begin{align*} F(x) = \int\limits_x^{-\infty} f(t) ~ \dd t \end{align*}$ heißen? Da hast du die Integralgrenzen vertauscht, richtig ist $\begin{align*} F(x) = \int\limits_{-\infty}^x f(t) ~ \dd t \end{align*}$ .

Zitat:

Original von Justpassingby123
Moniert wird dann, dass man ein "1 [Wertebereich] (t)" vor dem dt hinzufügen hätte müssen.

Ziemlich verwaschen - meinst du am Ende $\begin{align*} F(x) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(t)\cdot 1_{(-\infty,x]}(t) ~ \dd t \end{align*}$ ? verwirrt

Das wäre ebenfalls richtig.

30.10.2015, 22:14

Justpassingby123

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Zitat:

Original von HAL 9000
Wenn ich deine Hieroglyphen richtig deute, soll das $\begin{align*} F(x) = \int\limits_x^{-\infty} f(t) ~ \dd t \end{align*}$ heißen? Da hast du die Integralgrenzen vertauscht, richtig ist $\begin{align*} F(x) = \int\limits_{-\infty}^x f(t) ~ \dd t \end{align*}$ .

Zitat:

Original von Justpassingby123
Moniert wird dann, dass man ein "1 [Wertebereich] (t)" vor dem dt hinzufügen hätte müssen.

Ziemlich verwaschen - meinst du am Ende $\begin{align*} F(x) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(t)\cdot 1_{(-\infty,x]}(t) ~ \dd t \end{align*}$ ? verwirrt

Das wäre ebenfalls richtig.

Genau, erst,

$\begin{align*} F(x) = \int\limits_{-\infty}^x f(t) ~ \dd t \end{align*}$ .

dann die Dichtefunktion 1:1 eingesetzt für f(t), dabei hätte ich dann den Wertebereich für die Dichtefunktion z.B. 1_{(-\5,1]}(t) setzen müssen ... ?

30.10.2015, 23:54

HAL 9000

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Jetzt verstehe ich erst: Du hast eine konkrete Dichtefunktion, die mit Hilfe einer Indikatorfunktion definiert wurde. Warum sagst du das nicht gleich, und nennst diese konkrete Dichtefunktion, statt so nebulös rumzueiern? Forum Kloppe

31.10.2015, 02:00

Justpassingby123

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Zitat:

Original von HAL 9000
Jetzt verstehe ich erst: Du hast eine konkrete Dichtefunktion, die mit Hilfe einer Indikatorfunktion definiert wurde. Warum sagst du das nicht gleich, und nennst diese konkrete Dichtefunktion, statt so nebulös rumzueiern? Forum Kloppe

Sorry

Was hat es dann mit $\begin{align*} 1_{(-\5,1]}(t) \end{align*}$ bei einsetzen für f(t) auf sich ?

31.10.2015, 08:54

HAL 9000

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$\begin{align*} 1_{(-5,1]} \end{align*}$ ist die Indikatorfunktion des Intervalls $\begin{align*} (-5,1] \end{align*}$ , d.h., es ist $\begin{align*} 1_{(-5,1]}(t) = \begin{cases} 1 &\;\mbox{für}\; -5<t\leq 1 \\ 0 &\;\mbox{sonst} \end{cases} \end{align*}$ .

Mit einer anderen Funktion multipliziert bedeutet das: $\begin{align*} g(t)\cdot 1_{(-5,1]}(t) = \begin{cases} g(t) &\;\mbox{für}\; -5<t\leq 1 \\ 0 &\;\mbox{sonst} \end{cases} \end{align*}$ .

So eine Multiplikation mit einer Indikatorfunktion "maskiert" also die Funktion auf ein bestimmtes Intervall, und setzt alles außerhalb auf Null. Das hat z.B. den Effekt, dass

$\begin{align*} \int\limits_{-\infty}^{\infty} g(t)\cdot 1_{(-5,1]}(t) ~ \dd t = \int\limits_{-5}^1 g(t) ~ \dd t \end{align*}$

gilt. In deinem Fall mit oberer Grenze $\begin{align*} x \end{align*}$ wird es noch einen Zahn komplizierter: Da gilt allgemein

$\begin{align*} \int\limits_{-\infty}^x g(t)\cdot 1_{(-5,1]}(t) ~ \dd t = \int\limits_{-\infty}^{\infty} g(t)\cdot 1_{(-5,1]}(t)\cdot 1_{(-\infty,x]}(t) ~ \dd t = \int\limits_{-\infty}^{\infty} g(t)\cdot 1_{(-5,1]\cap (-\infty,x]}(t) ~ \dd t \end{align*}$ .

Das weitere Vorgehen hängt davon ab, wie groß $\begin{align*} x \end{align*}$ ist, denn es gilt

$\begin{align*} (-5,1]\cap (-\infty,x] = \begin{cases} \emptyset & \;\mbox{für}\;x\leq -5 \\ (-5,x] & \;\mbox{für}\;-5<x\leq 1\\ (-5,1] & \;\mbox{für}\;x>1 \end{cases}\qquad (*) \end{align*}$

und damit dann

$\begin{align*} \int\limits_{-\infty}^x g(t)\cdot 1_{(-5,1]}(t) ~ \dd t = \begin{cases} 0 & \;\mbox{für}\;x\leq -5 \\ \displaystyle\int\limits_{-5}^x g(t) ~ \dd t & \;\mbox{für}\;-5<x\leq 1\\ \displaystyle\int\limits_{-5}^1 g(t) ~ \dd t & \;\mbox{für}\;x>1 \end{cases} \end{align*}$ .

Ist so schwer nicht, zur Not musst du dir diese Intervallschnitte (*) einfach mal aufmalen.

31.10.2015, 15:52

Justpassingby123

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Ja, das ist viel zu weitreichend smile

Mal einfacher; mittlerweile bekomme ich es auch mit der Formatierung hin smile

Also, ich habe, als Dichtefunktion,

$\begin{align*} g(t) = \begin{cases} x + 1 &\;\mbox{für}\; -5<t\leq x \\ 0 &\;\mbox{sonst} \end{cases} \end{align*}$

Die möchte im Integral (Verteilungsfunktion) testen.

Ich habe letztlich hier einen Zwischenschritt gemacht, ohne das Intervall direkt zu lösen (einfach nur g(t) eingesetzt).

$\begin{align*} \int\limits_{\infty}^{x} g(t) ~ \dd t = \int\limits_{\infty}^{x} x + 1 ~ \dd t \end{align*}$

Von der Schreibweise wäre aber, folgendes richtig gewesen ?

$\begin{align*} \int\limits_{-\infty}^{x} x + 1 \cdot 1_{(-5,1]}(t) ~ \dd t \end{align*}$

Folglich vergessen die Indikatorfunktion einzufügen.

"Danach" entsprechend das Integral in den Grenzen -5 und x aufgelöst (mit dem einsetzen einen Schritt zu spät). Ich sehe es als (banalen) formalen Fehler ?

31.10.2015, 15:58

HAL 9000

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Zitat:

Original von Justpassingby123
Also, ich habe, als Dichtefunktion,

$\begin{align*} g(t) = \begin{cases} x + 1 &\;\mbox{für}\; -5<t\leq x \\ 0 &\;\mbox{sonst} \end{cases} \end{align*}$

Sicher? Was ist hier $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , ein Parameter dieser Dichtefunktion? So wie es aber aussieht, gibt es nur ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , womit das geht.

Ich stelle mal deine anscheinend "wilde" Verwendung von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ rundweg in Frage - es sieht so aus, als weißt du gar nicht so richtig, was du da tust. unglücklich

31.10.2015, 16:26

Justpassingby123

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Justpassingby123
Also, ich habe, als Dichtefunktion,

$\begin{align*} g(t) = \begin{cases} x + 1 &\;\mbox{für}\; -5<t\leq x \\ 0 &\;\mbox{sonst} \end{cases} \end{align*}$

Ah sorry... Typo (siehe voriges). Guests können nicht editieren. Von mir aus, -5 < t <= 1 und dann t + 1 bei g(t).

Wie gesagt, mir geht es nur um das Einsetzen im zweiten Schritt. So einfach, wie es nur geht. Wenn man die Intervalgrenzen im Zwischenschritt stehen lässt, muss man die Indikatorfunktion einfügen...

31.10.2015, 19:10

HAL 9000

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Auch

$\begin{align*} g(t) = \begin{cases} t + 1 &\;\mbox{für}\; -5<t\leq 1 \\ 0 &\;\mbox{sonst} \end{cases} \end{align*}$

ist meilenweit von einer Wahrscheinlichkeitsdichte entfernt. Das sieht man schon daran, dass $\begin{align*} g(t) \end{align*}$ für $\begin{align*} -5<t<-1 \end{align*}$ negativ ist - das geht gar nicht. unglücklich

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