Mittelwertsatz der Differentialrechung

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DerGast Auf diesen Beitrag antworten »
Mittelwertsatz der Differentialrechung
Hallo,

ich habe eine paar Verständnisprobleme mit dem Mittelwertsatz der Differntialrechnung.

Also die Definiton lautet wie folgt:
Sei ein Intervall und eine differenzierbare Funktion. Seien mit . Dann gibt es einen Punkt mit .

Naja warum schreibt man die Gleichung genau so an? f'=... wäre doch viel logischer. Und welches x_0 wählt man da aus? Einfach irgendeins zwischen dem Intervall a und b? Und warum sind a, b nicht in den Grenzen?

Gruß
DerGast
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mittelwertsatz der Differntialrechung
Die angegebene Gleichung kann man durchaus umstellen zu

Oder wie würdest Du denn Dein " f'=... " ergänzen?

Das wählt man nicht aus, man weiß nur, dass mindestens ein solches existiert.
Wenn allgemeingültig, dann gilt der MWS auch für nur stückweise stetige Funktionen. Wenn also a und b gerade die Randpunkte von sind und in diesen nicht differenzierbar, dann existiert das aber doch im Inneren von .

Wer noch mehr dazu sagen kann, nur zu.
DerGast Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mittelwertsatz der Differntialrechung
Ah ok, d.h. im Prinzip errechnet man den Mittelwert aller Steigungen im Intervall X? Under Mittelwert ist repräsentiert die Steigung an einem Punkt ?

Konkretes Beispiel:
Zeige für



Hm, aber was ist hier das Intervall? Das was dieses Beispiel oben aussagt, ist doch, dass sin(x) kleiner als x ist für alle positiven x.

Ich verstehe noch nicht so recht, was das mit Mittelwertsatz zu tun hat, also der ist hier anzuwenden.

Gruß
DerGast
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mittelwertsatz der Differntialrechung
Zitat:
Original von klauss
Wenn allgemeingültig, dann gilt der MWS auch für nur stückweise stetige Funktionen. Wenn also a und b gerade die Randpunkte von sind und in diesen nicht differenzierbar, dann existiert das aber doch im Inneren von .

Das stimmt nicht. Wie würdest du denn z.B. das bei der Funktion und wählen? Es reicht nicht mal "Stetigkeit + stückweise Differenzierbarkeit".

Zitat:
Original von DerGast
Ah ok, d.h. im Prinzip errechnet man den Mittelwert aller Steigungen im Intervall X? Under Mittelwert ist repräsentiert die Steigung an einem Punkt ?

Ja, der Differenzenquotient gibt die mittlere Steigung der Funktion im Intervall an. Der Mittelwertsatz sagt nun, dass es irgendwo eine Stelle in diesem Intervall gibt, an der die Funktion dieselbe Steigung hat wie die mittlere Steigung. Oder anschaulich: Irgendwo in dem Intervall ist der Anstieg der Tangente an die Funktion genauso groß wie der Anstieg der Sekante zwischen den Punkten und (das alles gilt nur, falls stetig auf und differenzierbar auf ist).

Beispiel: Intervall , Funktion=rot, Sekante=blau, parallele Tangente=grün


Die Aussage, die du zeigen willst, ist falsch. Geht es vielleicht um für alle ?
Wegen der Beschränktheit des Sinus gilt diese Aussage auf jeden Fall für . Für wende den Mittelwertsatz auf die Funktion an.
MrGuest Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mittelwertsatz der Differntialrechung
Zitat:
Original von 10001000Nick1
Die Aussage, die du zeigen willst, ist falsch. Geht es vielleicht um für alle ?
Wegen der Beschränktheit des Sinus gilt diese Aussage auf jeden Fall für . Für wende den Mittelwertsatz auf die Funktion an.


Ahja, stimmt sorry. x>0 war es natürlich.

Stimmt, das gilt nur für x>1 da sin(x)=0 ist. Aber warum betrachten wir den Sinus nur zwischen 0 und 1(also für x)? Warum basteln wir uns da ein Intervall zusammen? Weil wir das im Mittelwertsatz brauchen? Können wir auch 1 und 10 oder 0 und 5 nehmen?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mittelwertsatz der Differntialrechung
Zitat:
Original von MrGuest
x>0 war es natürlich.

Verstehe ich nicht. Das hattest du ja oben schon geschrieben. Mein Vorschlag war, das Relationszeichen bei der zu zeigenden Ungleichung umzudrehen. Also nochmal ganz deutlich: Ist die zu zeigende Aussage "Für alle gilt "?
(Wenn man beide Relationszeichen umdreht, ist die Aussage auch richtig; du musst mir jetzt sagen, welche Version gemeint war.)

Zitat:
Original von MrGuest
Stimmt, das gilt nur für x>1 da sin(x)=0 ist.

Was genau willst du damit sagen? ist jedenfalls nicht für alle gleich 0. Und gilt für alle , nicht nur für .

Zitat:
Original von MrGuest
Aber warum betrachten wir den Sinus nur zwischen 0 und 1(also für x)?

Wer sagt, dass ist? Das soll irgendeine Zahl mit sein (denn wie schon gesagt, ist der Fall relativ einfach zu zeigen; da braucht's keinen Mittelwertsatz).
Der Satz gilt natürlich auch auf allen anderen Intervallen; aber nur wenn du den Satz auf anwendest, kommst du zu der gewünschten Aussage.
 
 
MrGuest Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, ich denke ich habe den Mittelwertsatz noch nicht so ganz verstanden.

Zu zeigen ist: sin(x)<x für x>0

Okay ein paar Fragen:
1. Wenn x=0 ist, dann gilt das natürlich nicht, weil sin(0)=0. Aber warum weiß man, dass es gerade für x>1 gilt? Man kann ja x>0,0001 auch sagen, oder?
2. Wenn Frage 1 erstmal geklärt ist, was bringt es den Mittelwert der Steigungen in dem Intervall zu berechnen?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MrGuest
Aber warum weiß man, dass es gerade für x>1 gilt?

Wegen der Beschränktheit des Sinus. Du solltest dir noch überlegen, warum das daraus folgt. Dass die Ungleichung für gilt, folgt nicht aus der Beschränktheit.

Zitat:
Original von MrGuest
2. Wenn Frage 1 erstmal geklärt ist, was bringt es den Mittelwert der Steigungen in dem Intervall zu berechnen?

Mach es doch einfach mal: Erstmal nur einfaches Einsetzen der Funktion in den Mittelwertsatz. Der Rest ergibt sich dann.
MrGuest Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 10001000Nick1
Wegen der Beschränktheit des Sinus. Du solltest dir noch überlegen, warum das daraus folgt. Dass die Ungleichung für gilt, folgt nicht aus der Beschränktheit.


Okay, was meint man mit "Beschränktheit" des Sinus? Wo ist der wie beschränkt?

Also so lautet der Mittelwertsatz:
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Es gilt für alle (das ist mit Beschränktheit gemeint).

Besser wäre: Es existiert ein , sodass . (das darf man nicht einfach weglassen!)
Jetzt schau dir mal die linke Seite dieser Gleichung an. Kannst du die irgendwie abschätzen (denk dran: Es ist , d.h. auch ). Zur Not, einfach mal den Graphen der Cosinus-Funktion anschauen.
MrGuest Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, leider bin ich jetzt verwirrt.

Du sagtest: "denn wie schon gesagt, ist der Fall relativ einfach zu zeigen; da braucht's keinen Mittelwertsatz)."

sin(x) < x für x>0 ist doch zu zeigen. Also wenn ich für x>1 einsetze, dann ist sin(x) immer kleiner wie x. Warum ist das nicht klar für x=0,00001 oder halt x>0,0001?

Lass uns erstmal nur das klären. Alles der Reihe nach ist glaube ich am besten.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Falls ist, kann man die Ungleichung so zeigen:

(wobei die Ungleichung aus der Beschränktheit des Sinus folgt);
also gilt .

Versuch das mal für -Werte, die kleiner als 1 sind; da funktioniert diese Argumentation nicht. Deswegen machen wir diese Fallunterscheidung und können das Beschränktheitsargument nur für verwenden.

Soweit klar? smile
MrGuest Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, wenn ich aber für x kleiner 1 einsetzte, z.B. 0,5, dann ist sin(0,5)=0,00872 und es gilt doch sin(x)<x, also 0,00872<0,5.

Hm, ich weiß nicht was du meinst.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe ja auch nicht gesagt, dass die Ungleichung für x-Werte, die kleiner als 1 sind, falsch wäre.
MrGuest Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Hilfe, aber irgendwie stehe ich gerade voll auf der Leiter^^.

Ich zitiere nochmals:
Zitat:
Die Aussage, die du zeigen willst, ist für alle ?
Wegen der Beschränktheit des Sinus gilt diese Aussage auf jeden Fall für . Für wende den Mittelwertsatz auf die Funktion an.


Ja, wenn ich für x>1 einsetze, dann ist der sin(x)-Wert immer kleiner wie x selbst. Hmm, aber warum nennst du hier "wegen der Beschränkung des Sinus"? Ich kann für x alle möglichen Werte einsetzen und es kommt nie mehr wie 1 bzw. -1 heraus, da dieser so definiert ist.

Mir ist der Zusammenhang einfach nicht klar.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MrGuest
Ja, wenn ich für x>1 einsetze, dann ist der sin(x)-Wert immer kleiner wie x selbst.

Genau das sollst du doch zeigen!!!
Abstract Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, dass soll ich zeigen.

Warum gilt dann wegen der Beschränktheit des Sinus diese Aussage auf jeden Fall für ?

Genau das ist mir nicht klar.

(habe mich nun angemeldet, also ich bin MrGuest^^)
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Das habe ich dir hier gezeigt.
Abstract Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, mehrmals durchlesen hilft wohl doch - danke.

Also bedeutet , dass sin(x) nur max. 1 annehmen kann und dass x gleichzeitig größer wie 1 ist und somit ist erfüllt.

Und wenn ich schreibe , dann habe ich die Definition vom Sinus verletzt und ist somit nicht gültig? Denn die Aussage stimmt ja eigentlich. Wenn x=0,5, dann ist sin(x) kleiner.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

ist eine wahre Aussage. Aber das musst du noch zeigen.
Wie man die Aussage für zeigt, hatte ich ja oben schon gesagt (mit dem Mittelwertsatz).

Bin für heute weg; ich schaue morgen wieder rein. Wink
Abstract Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke dir.

Also, d.h. wenn man schreibt , dann ist das ohnehin schon bewiesen, aufgrund der Beschränkung des Sinus? Also wenn man sagt, das sin(x) größer oder gleich 1 ist, was ja seine äußerste Grenze ist, dann ist auch x größer 1. Soll das der Beweis sein für x größer 1?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Abstract
Also wenn man sagt, das sin(x) größer oder gleich 1 ist,

Wieso sollte man das sagen? Der Sinus kann nicht größer als 1 werden.
Abstract Auf diesen Beitrag antworten »

Uhhm, sorry. Meine natürlich kleiner oder gleich 1.

Naja d.h. wir müssen mit dem Mittelwertsatu die ursprüngliche Bedingung zeigen?

Also: , sodass
x <= 1, d.h. das x_0 ist irgendwo zwischen 0 und x. Bei x_0 ist ja das Mittel der Steigungen von 0 bis 1 im Prinzip.

Aber ich verstehs nicht. Was soll ich da nun für x einsetzen? Du sagtest ich soll mir das cos(x_0) ansehen. Der cos(0)=0 und cos(1)=~1.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Abstract
Was soll ich da nun für x einsetzen?

Gar nichts: ist irgendeine beliebige Zahl im Intervall .

Zitat:
Original von Abstract
Der cos(0)=0 und cos(1)=~1.

Wie kommst du darauf? und .

Du weißt, dass und . Also muss doch sein (wenn dir das nicht klar ist, mal dir das vielleicht mal an einem Zahlenstrahl auf).
Und weil ist, gilt (auch hier: wenn dir das nicht klar ist, den Graphen der Cosinus-Funktion anschauen).

Du weißt jetzt also: Es existiert ein , sodass .
Jetzt bist du schon fast fertig. Siehst du, wie du jetzt zu der zu zeigenden Ungleichung kommst?
Abstract Auf diesen Beitrag antworten »

Habe vergessen auf Bogenmaß umzustellen.

Hm, wir wollen doch die Ungleichheit für zeigen, stimmt. Das ist mir klar. Hmm, warum befindet sich x_0 zwischen 0 und x?
Ich hätte einfach gleich gesagt, dass so wie zwischen 0 und 1 liegt, da wir uns ja einen Abschnitt bzw. Intervall angucken und irgendwo da liegt der Punkt , wo die Steigung das Mittel alle Steigungen zwischen 0 und x ist.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Abstract
Hmm, warum befindet sich x_0 zwischen 0 und x?

Weil der Mittelwertsatz, angewendet auf die Funktion , das sagt.
Abstract Auf diesen Beitrag antworten »

Ich zitiere nochmals:
Zitat:
Es geht ja um die Aussage: für alle ?Wegen der Beschränktheit des Sinus gilt diese Aussage auf jeden Fall für . Für wende den Mittelwertsatz auf die Funktion an.


Genau, wegen der Beschränktheit des Sinus ist klar, dass es schon mal für x>1 gilt, da sin(x) eh nicht größer als 1 werden kann.

Nun müssen wir das ganze noch für x zwischen 0 und 1 beweisen, sehe ich das so richtig?

Jetzt die Frage: Warum müssen wir den Mittelwertsatz genau auf anwenden? Also warum ist der Definitionsbereich das Intervall [0,x] und nicht [0,1]? 0 und 1 wäre ja viel logischer, weil da irgendwo ja diesees x_0 ist, was das Mittel alle Steigungen von 0 bis 1 repräsentiert. Also die Tangante an x_0 hat jene Steigung.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Abstract
Jetzt die Frage: Warum müssen wir den Mittelwertsatz genau auf anwenden?

Also wir müssen gar nichts. Aber in der Tat würde es in der Sache helfen. Jetzt nehmen wir ein x, daß größer als Null und kleiner-gleich 1 ist. Zu diesem x betrachten wir das Intervall [0; x] . Das kann uns ja niemand verbieten. Und zu diesem Intervall und der Funktion f wendet man nun den Mittelwertsatz an. Auch das kann uns niemand verbieten. smile
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mittelwertsatz der Differntialrechung
Nur noch ergänzend:
Zitat:
Original von 10001000Nick1
Das stimmt nicht. Wie würdest du denn z.B. das bei der Funktion und wählen?

So gar nicht.
Ich meinte schon den Fall, dass die Intervallgrenzen einen im Innern stetigen und differenzierbaren Abschnitt begrenzen, so wie z. B. auf der folgenden Skizze der rote Bereich [1;3] (und angenommen 1 und 3 gehören tatsächlich als Randpunkt zu diesem Intervall).
Das hätte ich wohl noch deutlich herausstellen sollen.
Abstract Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich versuches dann von vorne alleine:

Wir haben also ein und das Intervall [0,x] und jetzt wenden wir den Mittelwertsatz an für die Funktion sin(x).

wobei , d.h. für uns folgendes:

wobei

D.h. wir haben an der Stelle x_0, das sich zwischen 0 und x befindet, jene Steigung, das das Mittel ist aller Steigungen im Intervall 0 bis x.
Soweit, so richtig?

Und da x nur maximal bis 1 gehen kann kann, gilt auch nur bis maximal 1 gehen, also gilt .

Also für dieses x_0 ist oder? deswegen, weil . Oder Zählt man die Null nie mit?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Was soll denn bedeuten "Man zählt die Null nie mit"?

Der Mittelwertsatz sagt hier eben, dass es ein gibt, sodass ...
Abstract Auf diesen Beitrag antworten »

Also sind die Null und das x nicht mehr im intervall wegen den runden Klammern? Naja und warum zählt man die nicht mit ins Intervall?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Abstract
D.h. wir haben an der Stelle x_0, das sich zwischen 0 und x befindet, jene Steigung, das das Mittel ist aller Steigungen im Intervall 0 bis x.
Soweit, so richtig?

Der Teilsatz "dass das Mittel ist aller Steigungen im Intervall 0 bis x" ist unpassend. Besser:
An der Stelle x_0 hat man haargenau die gleiche Steigung wie die Steigung der Sekanten durch die Punkte (0; sin(0)) und (x; sin(x)) .

Zitat:
Original von Abstract
Also sind die Null und das x nicht mehr im intervall wegen den runden Klammern? Naja und warum zählt man die nicht mit ins Intervall?

Das ist eine Folge des Mittelwertsatzes. Außerdem will man ja auch die etwas schärfere Ungleichung sin(x) < x für x > 0 zeigen. Ansonsten ist das relativ belanglos und man kann auch die Randpunkte hinzunehmen, was allerdings die Aussage des Mittelwertsatzes etwas verwässert.

Wegen für 0 < x_0 < 1 hat man nun , woraus dann sin(x) < x folgt.
Abstract Auf diesen Beitrag antworten »

OK, danke, also umformtechnisch ist mir klar wie das zuzeigende zu zeigen ist.

Aber kann es sein, dass das Beispiel nicht wirklich konkret ist im bezug auf den MWS?

Konkret wäre: Berechne die Steigung im Punkt x_0 in (a,b), die so groß ist wie die Sekantensteigung der Sekante, die durch Punkt (a,ay) und (b,by) geht.

Naja und in meinem ursprünglichen Beispiel ist der MWS halt nur Mittel des Zweckes.

Darum hab ich es net verstanden, da ich mich so auf die Steigung im Punkt x_0 konzentriert habe.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Abstract
Aber kann es sein, dass das Beispiel nicht wirklich konkret ist im bezug auf den MWS?

Also ich finde das schon. Man nimmt gerne des MWS, um damit irgendwelche Ungleichungen zu zeigen.

Zitat:
Original von Abstract
Konkret wäre: Berechne die Steigung im Punkt x_0 in (a,b), die so groß ist wie die Sekantensteigung der Sekante, die durch Punkt (a,ay) und (b,by) geht.

Nun ja, was will da man großartig berechnen, zumal man den Punkt x_0 gar nicht kennt? Klar kann man die Steigung der Sekanten berechnen und sagen, irgendwo gibt es eine Stelle x_0, wo die Funktion die gleiche Steigung hat. Ob das was hilft, hängt vom Gesamtzusammenhang ab. Augenzwinkern
Abstract Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok, d.h. mit Hilfe des MWS kann man z.B. solche Sachen wie eben beweisen?

Könntest du mir bitte vielleicht ein anderes Bespiel zur Veranschaulichung geben, dann wirds wahrscheinlich noch klarer?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Wie wäre es mit oder ?
Abstract Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, lass zuerst mal folgendes Bsp probieren bitte:

für und (s ist eine feste reele Zahl)

Naja ich habe mal folgenden Ansatz:




MWS für :

und a=0, b=1


D.h. es gibt ein x_0 mit der Steigung -1 im zwischen 0 und 1. Stimmt das so? Aber nach dem MWS komme ich nie weiter.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Warum schreibst du "0 - 1" im Nenner? Außerdem wäre es geschickter b=x zu wählen. Augenzwinkern
Abstract Auf diesen Beitrag antworten »

Ohh, stimmt.

Nochmal:



Naja ich könnte folgendes machen:


Aber wie bringe ich dann das ins Spiel?
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