Basis Faktorraum

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31.10.2015, 17:14	Taurus	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis Faktorraum Stehe bei folgender Aufgabe momentan an ... Sei $\begin{eqnarray} h_{A} \end{eqnarray}$ die lineare Abb. wobei $\begin{eqnarray} A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ a.) Bestimme die Basen für ker( $\begin{eqnarray} h_{A} \end{eqnarray}$ ) und im( $\begin{eqnarray} h_{A} \end{eqnarray}$ ). b.) Bestimme eine Basis für den Faktorraum $\begin{eqnarray} \mathbb R^{3}/ \end{eqnarray}$ ker( $\begin{eqnarray} h_{A} \end{eqnarray}$ ) Teil a.) habe ich schon gelöst und komme auf die Basen Basis (ker( $\begin{eqnarray} h_{A} \end{eqnarray}$ ) = $\begin{eqnarray} (\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray}$ Basis (im( $\begin{eqnarray} h_{A} \end{eqnarray}$ ) = $\begin{eqnarray} (\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}) \end{eqnarray}$ b.) Wie komme ich zur einer Basis für den Faktorraum $\begin{eqnarray} \mathbb R^{3}/ \end{eqnarray}$ ker( $\begin{eqnarray} h_{A} \end{eqnarray}$ ) ??? Ich weiß, dass dim( $\begin{eqnarray} V/U \end{eqnarray}$ ) + dim( $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ ) = dim( $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ) Ich könnte jetzt sagen $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ = ker( $\begin{eqnarray} h_{A} \end{eqnarray}$ ) Ich weiß dim( ker( $\begin{eqnarray} h_{A} \end{eqnarray}$ )) = $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ und dim(im( $\begin{eqnarray} h_{A} \end{eqnarray}$ )) = $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ Demnach müsste die dim( $\begin{eqnarray} \mathbb R^{3}/ \end{eqnarray}$ ker( $\begin{eqnarray} h_{A} \end{eqnarray}$ )) = $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ sein. Aber wie komme ich nun dazu? Bzw. was ist eine Basis dafür?
31.10.2015, 18:03	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Statt "sei $\begin{eqnarray} h_A \end{eqnarray}$ die lineare Abbildung, wobei $\begin{eqnarray} A= ... \end{eqnarray}$ " schreibe bitte zukünftig "sei $\begin{eqnarray} h_A:\mathbb R^3\to\mathbb R^2,x\to Ax \end{eqnarray}$ mit der Darstellungsmatrix $\begin{eqnarray} A= ... \end{eqnarray}$ " . Das liest sich viel besser und ist allgemeinverständlich. Du kennst die Dimension $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ des Faktorraums, brauchst also genau einen Vektor $\begin{eqnarray} x+U \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x\notin U \end{eqnarray}$ als Basis.
31.10.2015, 18:51	Taurus	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort! Ich brauche also einen beliebigen Vektor der zu $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ linear unabhängig ist und $\begin{eqnarray} \in \mathbb R^{3} \end{eqnarray}$ ist. Ist das korrekt? Würde dann einen sehr einfachen wählen .... ist z.B.: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ dann eine Basis von $\begin{eqnarray} \mathbb R^{3}/ \end{eqnarray}$ ker( $\begin{eqnarray} h_{A} \end{eqnarray}$ ) ?
31.10.2015, 20:00	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\notin U \end{eqnarray}$ und noch offensichtlicher (kann man offensichtlich steigern ?) ist $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\notin U \end{eqnarray}$ . Nun ist aber der Faktorraum ein Vektorraum von Äquivalenzklassen $\begin{eqnarray} x+U \end{eqnarray}$ (hatte ich schon geschrieben) und nicht ein Untervektorraum von $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ . Wie eine Basis dieses Faktorraums aussieht, hatte ich auch schon geschrieben (Tipp: Lies noch einmal oder mehrmals die Definition "Faktorraum" durch, das hilft dem Verständnis.)
01.11.2015, 12:16	Taurus	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Elvis, Es tut mir Leid ... aber ich kann mit deiner Erklärung leider nicht viel so viel anfangen wie du anscheinend glaubst ... Wenn ich die Definition Faktorraum richtig verstanden habe ist "das was du meinst" die Menge aller Äquivalenzklassen ? In meinem Fall ist $\begin{eqnarray} U= \left\{\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\cdot t + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot s \| t, s \in \mathbb R \right\} \end{eqnarray}$ Wäre dann $\begin{eqnarray} x+U \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}x\\x\\ x\end{pmatrix} + U := \left\{\left.\begin{pmatrix}x \\x \\x\end{pmatrix} + u \right\| u \in U\right\} \end{eqnarray}$ Aber ich habe doch dim = 1 für die Basis ? Darf ich dann da einfach einen Vektor herausnehmen?
01.11.2015, 12:34	Taurus	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich einen bel. Vektor $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ nehme der nicht in $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ liegt und "dazu addiere" würde ich bei $\begin{eqnarray} x=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ auf die Basis $\begin{eqnarray} \left( \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \right) \end{eqnarray}$ kommen.
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01.11.2015, 12:59	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast anscheinend noch nicht verstanden, was ein Faktorraum $\begin{eqnarray} V/U \end{eqnarray}$ ist, also erkläre ich das einmal. Für einen $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ -Vektorraum $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ und einen Untervektorraum $\begin{eqnarray} U\le V \end{eqnarray}$ wird $\begin{eqnarray} V/U:=\{x+U\|x\in V\} \end{eqnarray}$ durch die Addition $\begin{eqnarray} (x+U)+(y+U):=(x+y)+U \end{eqnarray}$ und die Skalarmultiplikation $\begin{eqnarray} \alpha(x+U):=(\alpha x)+U \end{eqnarray}$ zu einem $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ -Vektorraum. Geometrisch kann man sich das in diesem Beispiel so vorstellen, dass $\begin{eqnarray} U \le \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ eine Ebene durch den Nullpunkt ist. Die Restklassen $\begin{eqnarray} x+U, x\in \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ sind die zu $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ parallelen Ebenen. Man addiert zwei Ebenen, indem man zwei "Stützvektoren" addiert, man multipliziert eine Ebene, indem man den "Stützvektor" mit einer reellen Zahl multipliziert. Zurück zur Aufgabe: eine Basis ist $\begin{eqnarray} \{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+U\}=\{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+u\|u\in U\} \end{eqnarray}$ . Das ist eine von $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ verschiedene zu $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ parallele Ebene. Sie ist genau deswegen von $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ verschieden, weil der "Stützvektor" $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ nicht in $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ liegt. $\begin{eqnarray} U=0+U \end{eqnarray}$ ist der Nullvektor in $\begin{eqnarray} \mathbb R^3/U \end{eqnarray}$ , den kann man also nicht als Basis eines 1-dimensionalen Vektorraums benutzen.
01.11.2015, 15:29	Taurus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok! Danke für die Erklärung! Die parallel Ebene ist dann gegeben durch die beiden Vektoren von $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ und durch einen bel. Vektor $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ der nicht in $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ liegt. Die Basis von $\begin{eqnarray} \mathbb R^{3}/ \end{eqnarray}$ ker( $\begin{eqnarray} h_{A} \end{eqnarray}$ ) wäre demnach dann $\begin{eqnarray} \left(\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right) \end{eqnarray}$ Ich hoffe jetzt passt es Dazu hätte ich jetzt noch eine Zusatzfrage .... öfters kommt auch der Begriff Repräsentantensystem in diesem Zusammenhang vor ... Die von mir nun erstellte Basis stellt doch dann auch ein Repräsentantensystem dar oder?
01.11.2015, 16:47	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Falsch.
01.11.2015, 16:54	Taurus	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist falsch? Die Basis oder meine Ausführung zum Repräsentantensystem
01.11.2015, 17:43	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Basis. Du hast in Deinem 1. Beitrag theoretisch richtig gut angefangen, und Du hast die Dimension des Faktorraums völlig richtig berechnet. Die Dimension des Faktorraums ist 1. Ich habe aufgeschrieben, wie eine Basis des Faktorraums aussieht, sie besteht aus einem Vektor. Du schreibst eine Basis des $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ auf, diese besteht aus 3 Vektoren, die Dimension ist 3. Außerdem schreibt man eine Menge in geschweiften Klammern, nicht in runden Klammern.
01.11.2015, 18:02	Taurus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok. Nochmal ... $\begin{eqnarray} \{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+U\}=\{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+u\|u\in U\} \end{eqnarray}$ ist also eine Basis ... kann ich das dann so stehen lassen? Ich weiß nicht wie ich die Basis korrekt anschreiben soll .... mir ist schon klar dim = 1 ... Wenn wieder falsch kannst du mir irgendeine Basis aufschreiben die korrekt wäre? Bitte ! Möchte das jetzt verstehen und bei einem analogen Bsp. nochmal ausprobieren.
01.11.2015, 18:20	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist die Basis, die ich aufgeschrieben habe. Das ist richtig, weil ich es aufgeschrieben habe. Zum Repräsentantensystem: jede zu $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ parallele Ebene $\begin{eqnarray} U^{\alpha} \end{eqnarray}$ ist ein Vektor im Faktorraum. Man erreicht jede solche Ebene durch skalare Multiplikation mit dem Basisvektor : $\begin{eqnarray} U^{\alpha}=\alpha\cdot (\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+U)=\alpha\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+U \end{eqnarray}$ . Die Menge $\begin{eqnarray} \{\alpha\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\|\alpha \in\mathbb R\} \end{eqnarray}$ repräsentiert also die zu $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ parallelen Ebenen, deshalb heißt diese Menge ein Repräsentantensystem.
01.11.2015, 19:17	Taurus	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für Hilfe! Jetzt ist es klar! Diese Schreibweise $\begin{eqnarray} \{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+u\|u\in U\} \end{eqnarray}$ für eine Basis war mir bisher unbekannt! Ich war es bisher gewohnt eine Basis mit runden Klammern anzuschreiben ...
01.11.2015, 19:31	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis = Tupel, also geordnete Menge statt Basis = Menge, also ungeordnete Menge ? Ja, das geht auch. Bei einer endlichen oder unendlichen Basis kann eine Ordnung der Indexmenge als Ordnung der Basis genommen werden. Bei dieser Basis des Faktorraums darfst Du die unendliche Menge zusätzlich in runde Klammern einschließen. Mir ist allerdings nicht ganz klar, wie sich eine geordnete Menge mit einem Element von einer ungeordneten Menge mit einem Element unterscheidet. In diesem Beispiel darfst Du NICHT die geschweiften Mengenklammern durch runde Klammern ersetzen. Genauer: Du darfst es nur tun, wenn du mir erklären kannst, wie Du das meinst und was genau Du damit erreichen möchtest.

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