Eine rekursiv definierte Folge

01.11.2015, 00:48

Weitweg

Eine rekursiv definierte Folge

Ich soll zeigen, dass die rekursiv definierte Folge

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \frac{2+ a_n}{1+ a_n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_n =1 \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Als Hinweis steht noch dabei, dass man $\begin{eqnarray*} 1 \leq a_n \leq 2 \end{eqnarray*}$ zeigen soll und dann die Häufungspunkte der Folge bestimmen soll.

$\begin{eqnarray*} 1 \leq a_n \leq 2 \end{eqnarray*}$ zu zeigen ist ja einfach, aber wie soll ich die Häufungspunkte der Folge bestimmen? $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to + \infty} \frac{2+x}{1+x} =1 \end{eqnarray*}$ , falls das gemeint ist...

01.11.2015, 11:45

bijektion

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to + \infty} \frac{2+x}{1+x} =1 \end{eqnarray*}$ , falls das gemeint ist...

Das ist nicht gemeint... Du hast doch eine rekursiv definierte Folge.

Was ist denn ein Häufungspunkt?

01.11.2015, 12:08

Weitweg

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Ein Punkt, gegen den eine Teilfolge konvergiert.

10.11.2015, 16:52

Weitweg

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Wie kann ich also die Häufungspunkte finden?

14.11.2015, 11:59

Helferlein

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RE: Eine rekursiv definierte Folge
Löse die Gleichung $\begin{eqnarray*} \frac{2+x}{1+x} =x \end{eqnarray*}$

14.11.2015, 12:09

Weitweg

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Achso!

$\begin{eqnarray*} \frac{2+x}{1+x} = x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2+x = x+x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2-2=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = \pm \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

14.11.2015, 12:10

Helferlein

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Und welcher der beiden Häufungspunkte ist nun der Grenzwert deiner Folge?

14.11.2015, 12:12

Weitweg

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$\begin{eqnarray*} + \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} - \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ nicht in dem Intervall (also zwischen 1 und 2) liegt.

14.11.2015, 15:10

Helferlein

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Genau

14.11.2015, 16:09

Weitweg

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Und reicht das schon als Beweis dafür, dass die Folge konvergent ist?

15.11.2015, 00:00

Helferlein

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Sofern ihr den Satz schon hattet, dass eine beschränkte Folge reeller Zahlen mit nur einem Häufungspunkt konvergent ist, dann ja. Ansonsten müsstest Du noch die Monotonie der Folge zeigen.

15.11.2015, 00:33

Weitweg

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Ja, den Satz hatten wir. Danke! smile

15.11.2015, 12:38

HAL 9000

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Grundsätzlicher Einwand:

Ein Häufungspunkt der Folge $\begin{align*} a_{n+1}=f(a_n) \end{align*}$ muss doch nicht gleich ein Fixpunkt der Funktion $\begin{align*} f \end{align*}$ sein - Gegenbeispiel:

$\begin{align*} f(x) = x^2-1 \end{align*}$ und Startwert $\begin{align*} a_0=0 \end{align*}$ .

Offenbar gilt dann $\begin{align*} a_{2k}=0 \end{align*}$ und $\begin{align*} a_{2k+1}=-1 \end{align*}$ , aber weder 0 noch -1 sind Fixpunkt von $\begin{align*} f \end{align*}$ . unglücklich

Somit sind die Überlegungen hier nicht ausreichend - vielleicht doch besser noch die Monotonie nutzen...

15.11.2015, 16:47

Helferlein

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HAL hat recht. Mein vorgeschlagenes Verfahren funktioniert nur, wenn man den Grenzwert bestimmen möchte, also die Folge schon als konvergent identifiziert hat.

In diesem Fall ist also wirklich noch die Monotonie zu zeigen, um die Konvergenz zu sichern. Es sei denn Dir fällt ein Weg ein, die Häufungspunkte direkt zu bestimmen. Dann würde der erwähnte Satz wieder greifen.

18.11.2015, 02:09

Weitweg

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Es scheint monoton steigend zu sein. Normalerweise würde man das mit vollständiger Induktion zeigen, der Induktionsanfang ist einfach, beim Induktionsschritt wirds dann schwer...

18.11.2015, 08:12

Leopold

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Ich habe ein bißchen probiert und gerechnet. So etwas macht ja zwischendrin durchaus mal Spaß:

$\begin{align*} a_n = \sqrt{2} \cdot \frac{\left( 1 + \sqrt{2} \right)^{2n} + (-1)^n}{\left( 1 + \sqrt{2} \right)^{2n} - (-1)^n} \end{align*}$

Nicht daß das zur Lösung der Aufgabe hilfreich oder erforderlich wäre ...

18.11.2015, 10:15

HAL 9000

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Auf den ersten Blick ist es überraschend, wie oft das dann doch noch klappt mit der expliziten Darstellung - z.B. auch immer beim Heron-Verfahren. Augenzwinkern

18.11.2015, 13:45

Weitweg

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Ich glaube nicht, dass wir es explizit lösen dürfen...

Der Induktionsschritt:

Induktionsvoraussetzung: $\begin{eqnarray*} a_n \leq \frac{2+ a_n }{1+ a_n } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow a_n = \pm \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

zu zeigen: $\begin{eqnarray*} \frac{2+ a_n}{1 + a_n } = 1 + \frac{1}{ a_n } \leq \frac{ 2 + \frac{2+ a_n }{1+ a_n }}{1 + \frac{ 2 + a_n }{ 1 + a_n }} = 1 + \frac{1 + 2 a_n}{3 + 2 a_n } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \frac{1}{ 1 + a_n } \leq \frac{1+2 a_n }{3+2 a_n } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow 2- a_n \leq 2 a_n ^2 \end{eqnarray*}$

Und da kann ich nirgendwo die Induktionsvoraussetzung verwenden...

18.11.2015, 14:33

HAL 9000

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Ich schau mir so die ersten paar Werte der Folge an $\begin{align*} a_1=1, a_2=\frac{3}{2}, a_3=\frac{7}{5}, a_4=\frac{17}{12} \end{align*}$ (etwas, was von vielen überhaupt nicht gemacht wird, warum auch immer) und rätsle, welche Behauptung du da überhaupt per Vollständiger Induktion nachweisen willst... verwirrt

18.11.2015, 14:44

Weitweg

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Die ersten paar Folgengleider deuten doch auch darauf, dass die Folge monoton wachsend ist...

18.11.2015, 14:46

Weitweg

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Außer dem Sprung von 3/2 auf 7/5. Aber danach wächst die Folge ja.

Es kann auch sein, dass die Folge überhaupt nicht monoton ist, dann wüsste ich aber nicht, wie ich die Konvergenz zeigen könnte...

18.11.2015, 14:58

HAL 9000

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Zitat:

Original von Weitweg
Außer dem Sprung von 3/2 auf 7/5. Aber danach wächst die Folge ja.

Vielleicht hätte ich auch noch $\begin{align*} a_5 \end{align*}$ angeben sollen, damit du dein "außer" erweitern musst...

Die Folge ist nicht monoton, sondern sowas wie "alternierend monoton" - das ist kein seriöser Fachbegriff, ich meine damit folgendes: Die Teilfolge $\begin{align*} (a_{2k})_{k=1,2,\ldots} \end{align*}$ ist monoton fallend (und alle Werte sind größer als $\begin{align*} \sqrt{2} \end{align*}$ ), während die Teilfolge $\begin{align*} (a_{2k-1})_{k=1,2,\ldots} \end{align*}$ monoton wachsend ist (und alle Werte sind kleiner als $\begin{align*} \sqrt{2} \end{align*}$ ).

18.11.2015, 16:00

Weitweg

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Danke.

Wie kann ich das dann zeigen? Mittels vollständiger Induktion wirds schwer, da immer ein Folgeglied übersprungen wird...

18.11.2015, 16:42

HAL 9000

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Mein Vorschlag wäre, sich die Differenz zum mutmaßlichen Grenzwert $\begin{align*} \sqrt{2} \end{align*}$ genauer anzuschauen, d.h. die Differenz $\begin{align*} b_n:=a_n-\sqrt{2} \end{align*}$ , für diese Folge gilt dann

$\begin{align*} b_{n+1} = \frac{2+\sqrt{2}+b_n}{1+\sqrt{2}+b_n} - \sqrt{2} = -\frac{\sqrt{2}-1}{1+\sqrt{2}+b_n}\cdot b_n \qquad (*) \end{align*}$ .

Wir wissen $\begin{align*} a_n>0 \end{align*}$ für alle $\begin{align*} n \end{align*}$ , damit ist im Nenner $\begin{align*} 1+\sqrt{2}+b_n > 1 \end{align*}$ und folglich $\begin{align*} 0 < \frac{\sqrt{2}-1}{1+\sqrt{2}+b_n} < \sqrt{2}-1 \end{align*}$ . Aus (*) erkennt man, dass die Vorzeichen von $\begin{align*} b_n \end{align*}$ alternieren, aber für den Betrag folgt ebenfalls aus (*) sowie der letzten Abschätzung dann

$\begin{align*} \left| b_{n+1} \right| < q\cdot \left| b_n \right| \end{align*}$ mit $\begin{align*} q=\sqrt{2}-1 < 1 \end{align*}$

und daran solltest du sehen, dass $\begin{align*} (b_n) \end{align*}$ eine Nullfolge ist (Majorisierung durch eine geometrische Nullfolge).

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