Spektralnorm

02.11.2015, 10:36	Fenistili	Auf diesen Beitrag antworten »
Spektralnorm Meine Frage: Guten Morgen zusammen, ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter: Sei $\begin{eqnarray} A\in R^{n \times n} \end{eqnarray}$ eine symmetrische Matrix, dann gilt: $\begin{eqnarray} \|\|A\|\|_2=\sup_{\|\|x\|\|=1}{\|Ax,x)\|} \end{eqnarray}$ , also die Spektralsummennorm ist gleich dem Supremum über normierte Vektoren vom Skalarprodukt von Ax und x. Meine Ideen: Die Spektralnorm ist ja definiert als $\begin{eqnarray} \sup_{x\neq 0} \frac{\|\|Ax\|\|_2}{\|\|x\|\|_2}=\sup_{x\neq 0}\frac{(Ax)^T Ax}{x^Tx}=\sup_{x\neq 0}\frac{x^TA^TAx}{x^Tx} \end{eqnarray}$ und das soll gleich $\begin{eqnarray} \sup_{\|\|x\|\|_2=1}{\|(Ax)^Tx\|}=\sup_{\|\|x\|\|_2}{\|x^T A^T x\|} \end{eqnarray}$ sein. Aber wie kann ich das begründen?
02.11.2015, 12:11	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spektralnorm Wo siehst du in der Aussage denn die Spektralnorm (in deiner Definition fehlen übrigens Wurzeln)? Die Aussage, die du zeigen willst, ist vermutlich falsch. Du sollst zeigen, dass die euklidische (!) Norm gleich dem Supremum ist. Dabei ist $\begin{eqnarray} \\|A\\|_2 =\sqrt{ \sum_{ij} a_{ij}^2} = \sqrt { \sum_{i} \lambda_i^2 } \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \lambda_i \end{eqnarray}$ die Eigenwerte von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ sind.
02.11.2015, 12:30	Fenistili	Auf diesen Beitrag antworten »
Mh, bei uns wurde die Spektralnorm als die von der euklidischen Norm induzierte Matrixnorm definiert und als $\begin{eqnarray} \|\|A\|\|_2 \end{eqnarray}$ bezeichnet. In einem Satz haben wir gezeigt, dass $\begin{eqnarray} \|\|A\|\|_2=\sqrt{\lambda_{max}(A^TA)}=\sup_{x\neq 0} \frac{\|\|Ax\|\|_2}{\|\|x\|\|_2} \forall A\in R^{m\times n} \end{eqnarray}$ .
02.11.2015, 12:50	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spektralnorm Wie ich finde eine seltsame Definition, aber nun gut. Ich hatte eben einen Denkfehler, so dass ich A positiv-definit gebraucht hätte. Allerdings retten es die Beträge. Die Aussage sollte dann recht leicht zu zeigen sein, wenn man benutzt, dass symmetrische Matrizen orthogonal diagonalisierbar sind.

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