Zuordnungen und Funktionen

02.11.2015, 14:16

pls_help

Zuordnungen und Funktionen

Hallo,hab wieder ein Problem hier. Ich werde mal die ganze Aufgabe posten. Wenn mir jemand aber nur einen Denkanstoß geben könnte wäre das schon ausreichend. Ich suche nicht die komplette Lösung. Ein bisschen Spaß will ich mich auch aufbewaren Also:

Handelt es sich bei den folgenden Zuordnungen um Fuktionen? a) f:[-5,5]->R, x->y mit x²+y²=5 b) f:[-5,5]->[0,uendlich), x->y mit x²+y²=5 c) f:R->R, x-> wurzel(3+x²) d) f:R->R, x-> wurzel(-3+x²) c) f:[-6,6] -> R, x->1/(25-x²)

Führen Sie in den Fällen, wo die Zuordung keine Funktion darstellt, sinnvolle (minimale) Modifikationen durch, um die Funktionen zu erhalten. Skizzieren Sie für alle Funktionen den Graphen. Um welche Kurven handelt es sich bei a) b) und d) ?

02.11.2015, 14:24

magic_hero

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Leider beschreibst du nicht, wo genau dein Problem liegt.

Daher erst mal ganz allgemein: Eine Relation heißt Funktion, wenn sie linkstotal und rechtseindeutig ist. Das heißt, du musst zwei Dinge überprüfen: Ordnet die Relation jedem Wert aus dem Definitionsbereich mind. einen Wert aus dem Wertebereich zu (das ist die Linkstotalität)? Und wird jedem Wert aus dem Definitionsbereich genau ein Wert aus dem Wertebereich zugeordnet (das ist die Rechtseindeutigkeit)?

02.11.2015, 14:35

pls_help

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ich brauch eigentlich nur einen denkanstoß.

bei a) weiß ich das es keine Funktion ist da zb. für x=4 die y nicht in R liegen kann (richtig?). Also wenn ich dich richtig verstanden hab, nicht Rechtseindeutig. Ist das was du als Linkstotal beschreibst nicht das gleiche wie Surjektivität?

Wenn ich jetzt den Wertebereich bei a) anpasse auf f:[-5, $\begin{eqnarray*} \sqrt[]{5} \end{eqnarray*}$ ] dann wäre es eine Funktion?

02.11.2015, 14:39

simong

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Hi, hab mir jetzt einen Account gemacht. Ich meinte Natürlich f:[ $\begin{eqnarray*} -\sqrt[]{5},\sqrt[]{5} \end{eqnarray*}$ ]

02.11.2015, 14:50

magic_hero

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Zitat:

Original von pls_help
bei a) weiß ich das es keine Funktion ist da zb. für x=4 die y nicht in R liegen kann (richtig?). Also wenn ich dich richtig verstanden hab, nicht Rechtseindeutig.

Rechtseindeutigkeit ist etwas anderes - nämlich dann, wenn für einen Wert aus dem Definitionsbereich zwei (oder mehr) Werte im Wertebereich herauskommen können. Das was du beschrieben hast, ist eine Verletzung der Linkstotalität, schließlich gibt es keine reelle Zahl y, die man x=4 zuordnen könnte.

Zitat:

Original von pls_help
Ist das was du als Linkstotal beschreibst nicht das gleiche wie Surjektivität?

Nein, Surjektivität ist dasselbe wie die sogenannte Rechtstotalität. Daher wiederhole ich: Linkstotalität bedeutet, dass ich jedem Wert aus dem Definitionsbereich einen Wert im Wertebereich zuordne(n kann). Rechtstotalität bzw. Surjektivität, heißt, dass ich für jeden Wert des Wertebereichs einen Wert im Definitionsbereich angeben kann, der auf den Wert im Wertebereich abbildet.

Zitat:

Original von pls_help
Wenn ich jetzt den Wertebereich bei a) anpasse auf f:[-5, $\begin{eqnarray*} \sqrt[]{5} \end{eqnarray*}$ ] dann wäre es eine Funktion?

Auch nach deiner Korrektur solltest du darüber noch mal nachdenken. Wählen wir mal z.B. x=1. Dann muss, damit die Gleichung gilt, $\begin{eqnarray*} 1^2+y^2=5 \end{eqnarray*}$ gelten, also $\begin{eqnarray*} y^2=4 \end{eqnarray*}$ . Was kann $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ also sein?

02.11.2015, 15:13

simong

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okay okay,.. ich geh mal einen schritt zurück und versuche zu verstehen:
a) ist keine Funktion da sie nicht linkstotal ist, da zb. x=4 keinen Partner in y hat. Allerdings ist sie rechtseindeutig (richtig?)

um a) jetzt eine Funktion zu machen, muss ich sie nur linkstotal machen. Also den Wertebereich anpassen.

Ich verstehe das Problem mit:

Zitat:

nicht. für x=1 ist y=2.

02.11.2015, 15:16

magic_hero

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Zitat:

Original von simong
a) ist keine Funktion da sie nicht linkstotal ist, da zb. x=4 keinen Partner in y hat.

Finde die Ausdrucksweise etwas seltsam (wobei ich zugeben muss, dass ich bisher auch etwas rumdruckse, statt einfach von Bild und Urbild zu sprechen).

Zitat:

Original von simong
Allerdings ist sie rechtseindeutig (richtig?)
[...] für x=1 ist y=2.

Genau das ist noch die Frage - ist die Relation rechtseindeutig? Deine Lösung ist eine mögliche. Was hältst du davon, wenn ich dir zusätzlich noch $\begin{eqnarray*} y=-2 \end{eqnarray*}$ vorschlage?

/EDIT:

Zitat:

Original von simong
um a) jetzt eine Funktion zu machen, muss ich sie nur linkstotal machen. Also den Wertebereich anpassen.

Definitonsbereich meinst du. Das hast du ja auch gemacht, indem du ihn auf $\begin{eqnarray*} [-\sqrt{5}, \sqrt{5}] \end{eqnarray*}$ festgelegt hast, was völlig in Ordnung ist.

02.11.2015, 15:26

simong

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Zitat:

Original von magic_hero
Was hältst du davon, wenn ich dir zusätzlich noch $\begin{eqnarray*} y=-2 \end{eqnarray*}$ vorschlage?

Ich verstehe nicht worauf du hinnaus willst. Für $\begin{eqnarray*} y=-2 \end{eqnarray*}$ hab ich dann $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von magic_hero
Definitonsbereich meinst du. Das hast du ja auch gemacht, indem du ihn auf $\begin{eqnarray*} [-\sqrt{5}, \sqrt{5}] \end{eqnarray*}$ festgelegt hast, was völlig in Ordnung ist.

Ja Definitionsbreich meine ich natürlich smile

Somit wäre ja a) fertig, oder?
b) wäre ja genau das selbe, nur eben mit D= $\begin{eqnarray*} [0,\sqrt{5}) \end{eqnarray*}$ und die "hälte" des Graphens?

02.11.2015, 15:36

magic_hero

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Zitat:

Original von simong
Ich verstehe nicht worauf du hinnaus willst. Für $\begin{eqnarray*} y=-2 \end{eqnarray*}$ hab ich dann $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$

Du hast mir vorhin für $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ nur $\begin{eqnarray*} y=2 \end{eqnarray*}$ vorgeschlagen, aber wie du siehst, ist auch $\begin{eqnarray*} y=-2 \end{eqnarray*}$ eine mögliche Zuordnung für $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ . Das bedeutet, dass keine Rechtseindeutigkeit vorliegt: Für $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ ist sowohl $\begin{eqnarray*} y=2 \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} y=-2 \end{eqnarray*}$ eine Zuordnung, die der Bedinung, dass $\begin{eqnarray*} x^2+y^2=5 \end{eqnarray*}$ gelten muss, genügt.

Zitat:

Original von simong
Somit wäre ja a) fertig, oder?

Da solltest du jetzt noch mal drüber nachdenken. Im Prinzip ist mit meinen Ausführungen in diesem Beitrag alles gesagt, es fehlt natürlich noch die Überlegung nach einer geeigneten Modifikation (dazu kann man sich dann auch noch direkt den b)-Teil ansehen).

02.11.2015, 15:49

simong

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Zitat:

Original von magic_hero

Du hast mir vorhin für $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ nur $\begin{eqnarray*} y=2 \end{eqnarray*}$ vorgeschlagen, aber wie du siehst, ist auch $\begin{eqnarray*} y=-2 \end{eqnarray*}$ eine mögliche Zuordnung für $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ . Das bedeutet, dass keine Rechtseindeutigkeit vorliegt: Für $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ ist sowohl $\begin{eqnarray*} y=2 \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} y=-2 \end{eqnarray*}$ eine Zuordnung, die der Bedinung, dass $\begin{eqnarray*} x^2+y^2=5 \end{eqnarray*}$ gelten muss, genügt.

Stimmt! Also wäre die Änderung um eine Funktion zu erlagen: $\begin{eqnarray*} f:[-\sqrt[]{5},\sqrt[]{5}]\rightarrow[0,\infty] \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} +\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ?

02.11.2015, 15:52

magic_hero

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Zitat:

Original von simong
Stimmt! Also wäre die Änderung um eine Funktion zu erlagen: $\begin{eqnarray*} f:[-\sqrt[]{5},\sqrt[]{5}]\rightarrow[0,\infty) \end{eqnarray*}$ ?

Wenn wir aus der eckigen eine runde Klammer machen (wie ich es jetzt bei dir korrigiert habe), bin ich auf jeden Fall einverstanden (wobei das mit der eckigen Klammer an sich auch nicht falsch ist).

\EDIT:

Zitat:

Original von simong
[...] oder $\begin{eqnarray*} +\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ?

Diese Schreibweise ist etwas seltsam, ich kenne das als $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}_+ \end{eqnarray*}$ oder in seltenen Fällen auch als $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^+ \end{eqnarray*}$ .

02.11.2015, 15:55

simong

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okay super! vielen Dank! ich denke ich hab das Grundlegendste jetzt verstanden und trau mich guten Gewissens auch an den Rest ran.

Vielen dank nochmals smile

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