fünfmal 3 oder dreimal 5

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Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
fünfmal 3 oder dreimal 5
Wie "Die Welt" berichtet, diskutiert Amerika über eine Mathematikaufgabe der 3. Klasse:

zum Bericht

Wie beurteilt ihr die Stellungnahmen in den Kommentaren?
Hubert1965 Auf diesen Beitrag antworten »

Weil für die Multiplikation natürlicher Zahlen das Kommutativ-Gesetzes gilt, gilt:



Also ist sowohl diese Interpretation



als auch diese



korrekt und zulässig.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn die Multiplikation als Flächeninhalt mit der Anzahl der Quadrate in einem Rechteck ( 5x3 ) "nahegelegt" wurde, dann braucht man das Kommutativgesetz erst gar nicht zu betonen. Die Schüler sind ja nicht blöde.

Und beim Unterschied zwischen Multiplikand und Multiplikator muss ich erst mal Nachdenken...
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht meiner Meinung nach hier nicht um die Zulässigkeit der Wege, die zum Resultat führen, welches in diesem Zusammenhang nebensächlich ist.
Der Aufgabensteller hat dezitiert verlangt, dass der Rechenweg mittels fortgesetzter Addition durchzuführen ist und dieser ist - für 5*3

3 + 3 + 3 + 3 + 3

Bei 3*5 würde er

5 + 5 + 5

lauten. Das didaktische Konzept zielt darauf hin, die Schüler auf den algebraischen Sachverhalt

5*a = a + a + a + a + a

vorzubereiten.

Der Lehrer hat zu Recht den Rechenweg angemahnt, weil es ihm in dieser Aufgabenstellung nicht auf das Endergebnis, sondern auf den Weg dorthin angekommen ist.

mY+
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap
...
Und beim Unterschied zwischen Multiplikand und Multiplikator muss ich erst mal Nachdenken...

Brauchst nicht, wenn du Latein zu Hilfe nimmst:

Der erste ist der "kand", der zweite ist der "kator"
Der erste lässt's für sich geschehen (Gerundium = Der zu Multiplizierende) , der zweite tuts (der Ausführende)
Analog ist's mit Dividend und Divisor!

Und ähnlich ist's mit Subtrahend und Minuend, da muss man auch nachdenken (?)

mY+
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe es wie mYthos. Es geht hier doch nicht um das Ergebnis, sondern um das Verständnis der Multiplikation als fortgesetzter Addition mit stets demselben Summanden. Und deshalb kommt es auf die Reihenfolge der Faktoren an, weil jeder eine andere Rolle spielt. Daß dann letztlich das Kommutativgesetz gilt, ist doch eine Erkenntnis, die für ein achtjähriges Kind nicht selbstverständlich ist, sondern eine interessante Entdeckung.
Ob man jedoch 5·3 als "fünfmal die 3" oder als "5, die aber dreimal" auffaßt, ist von der Sprache her nicht ganz selbstverständlich, wenn auch die erste Version etwas näher liegt. So etwas sollte zuvor im Unterricht geklärt worden sein.
Den Erwachsenen ist die Kommutativität der Multiplikation so in Fleisch und Blut übergegangen, daß es vielen schwerfällt, von diesem Wissen abzusehen und der ursprünglichen Bedeutung der Multiplikation nachzuspüren. Deswegen auch die heftigen, oft unqualifizierten Stammtischparolen in den "Welt"-Kommentaren gegen die dummen und sturen Lehrer, die angeblich verschiedene Lösungswege nicht tolerieren.
Die Kommutativität gilt übrigens nur für die abstrakten Zahlen. Bei vielen Anwendungen, wo mit Einheiten gerechnet wird, wird beim Produktterm selbst der Unterschied deutlich. Schön fand ich das folgende Beispiel: 5 Personen bestellen jeder 3 dl Bier. Der Kellner kommt mit 3 Gläsern von je 5 dl und sagt: Was wollt ihr? Fünfmal 3 ist doch dasselbe wie dreimal 5.
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Spätestens bei der Bier-Geschichte wird es auch den Unwissendsten wie Schuppem aus den Haaren fallen ... Big Laugh
echnaton Auf diesen Beitrag antworten »

Aus der Diskussion, ob und welchen pädagogischen Nutzen die Reihenfolge/Interpretation bei der Multiplikation letzt­end­lich hat, möchte ich mich raushalten. Dennoch will ich einen interessanten Fakt einbringen.

In den Common Core Standards der 3. Klasse (gewissermaßen der Lehrplan) steht geschrieben

Zitat:
Interpret products of whole numbers, e.g., interpret 5 × 7 as the total
number of objects in 5 groups of 7 objects each.


Bereits im Jahr 2010 wurden Verbesserungsvorschläge eingereicht, unter anderem

Zitat:
Interpret products of whole numbers, e.g., interpret 5 × 7 as the total number of objects in 5 groups of 7 objects each or 7 groups of 5 objects each.

Inwiefern die Vorschläge umgesetzt wurden ist mir nicht bekannt. Möglicherweise ist das von Staat zu Staat unterschiedlich, nicht jeder hat den Standard meines Wissens anerkannt.

Die Lehrkraft hat sich strikt an den Lehrplan gehalten, nicht mehr und nicht weniger.
rg Auf diesen Beitrag antworten »

Definition der Multiplikation mit Peano laut Wikipedia:

.

Wenn man das hier anwendet, ergibt sich:

.

Ich hab bisher keine andere Quelle gefunden, in der das Produkt nicht auch von rechts her abgebaut wird.

Und nun?
rg Auf diesen Beitrag antworten »
Nachtrag
Auch in Edmund Landaus Klassiker "Grundlagen der Analysis" steht auf Seite 14:





Also wieder:

Gleich darauf wird das Kommutativgesetz bewiesen. Damit ist die Auszeichnung des einen Faktors als Multiplikand und die des anderen als Multiplikator schlicht hinfaellig und die Begriffe tauchen dann auch erst gar nicht auf.

Sinn machen die eh nur in Anwendungen, wo gar keine reinen Zahlen vorliegen (siehe Bier-Beispiel oben mit Einheiten), oder etwa bei Algorithmen zum Multiplizieren. Wenn man handschriftlich multipliziert, dann ist es ein technischer Unterschied, welche Zahl man links und welche man rechts hinschreibt. Wenn man denen dann Namen geben will, was ja manchmal ganz praktisch ist, bitte.

Im Duden werden Multiplikand und Multiplikator zwar als Begriffe erklaert, aber es wird nicht gesagt, welcher zuerst geschrieben werden muss.

Und der Schueler hat am Ende bei der ganzen Sache auch was gelernt: Naemlich, dass er seinen Scharfsinn zu Hause lassen kann, und in einer Klassenarbeit gefaelligst nur das reproduziert, was man ihm eingetrichtert hat.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Freude

also viel heiße Luft um Nichts.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nachtrag
Bei der Grundschulmathematik mit Definitionen aus der Hochschulbuchliteratur zu kommen, ist wohl nicht besonders zielführend. Die Menschen haben mit natürlichen Zahlen schon Tausende von Jahren gerechnet, bevor Herr Landau oder Herr Peano das Licht der Welt erblickten. Und diese Definitionen entstanden in einer Zeit, als man daranging, die Mathematik auf wenigen Axiomen aufzubauen. Diese Axiomatisierungen werden einem schon längst vorhandenen Gegenstand also nachträglich aufgeprägt. Keineswegs hat etwa Peano die natürlichen Zahlen erfunden. Wenn man daher in der Grundschule Mathematik betreiben will, muß man dort anfangen, wo die Kinder sind. Und das ist bei der Sprache, die sie sprechen.

Zitat:
Original von rg
Und der Schueler hat am Ende bei der ganzen Sache auch was gelernt: Naemlich, dass er seinen Scharfsinn zu Hause lassen kann, und in einer Klassenarbeit gefaelligst nur das reproduziert, was man ihm eingetrichtert hat.


Das sehe ich gerade anders. Es erfordert Scharfsinn und Genauigkeit im Lesen, um eine Aufgabe richtig zu erfassen. Einfach nur ein Ergebnis auf irgendeine Art zu ermitteln ist kein Scharfsinn. In dieser Aufgabe ging es gerade nicht um das Ergebnis 15, sondern um die Bedeutung des Terms 5·3. Es geht um Sinn und nicht um Rechnen, auch nicht um vorteilhaftes Rechnen. Ich finde vom Dezimalsystem her 5+5+5 auch einfacher zu rechnen als 3+3+3+3+3. Aber darum geht es hier gerade nicht. Es geht darum, daß der Schüler die Bedeutung von 5·3 erklärt.

Ein Beispiel aus einer höheren Klassenstufe:

"Bestimmen Sie beim Graphen der Funktion mit



die Extrempunkte. Untersuchen Sie die kritischen Stellen sorgfältig, ob es sich bei ihnen um Extremstellen handelt und von welcher Art diese gegebenenfalls sind."

Jetzt gehen wir von der folgenden Unterrichtssituation aus: Behandelt ist die Ableitung einer Funktion und ihre Bedeutung für das monotone Fallen oder Steigen der Funktion. Mehr nicht. Erwartet wird in der Lösung, die Intervalle gleichen Vorzeichens von zu bestimmen und bei einem Vorzeichenwechsel auf ein Extremum bei zu schließen.
Nun kommt aber ein Schüler mit einer Lösung an, die die zweite Ableitung für eine hinreichende Bedingung verwendet. Von der zweiten Ableitung ist im Unterricht aber noch kein einziges Mal die Rede gewesen. Daß es so etwas gibt, ist vom Unterricht her nicht bekannt. Der Schüler hat die Information von seinem Nachhilfelehrer bekommen, der ihm gezeigt hat, "wie das schneller geht".
Der Lehrer gibt für eine vollständig richtige Lösung 9 Punkte (Bestimmen der Ableitung: 1 Punkt, Berechnen der Nullstellen: 3 Punkte, Untersuchung des Vorzeichens von f' in den Teilintervallen und Folgerungen für die Monotonie und die Extrempunkte: 4 Punkte, Bestimmung der Ordinaten bei den Extrempunkten: 1 Punkt).

Wie viele Punkte würdet ihr dem Schüler oben geben, wenn er die Extrempunkte korrekt bestimmt hat, aber eben ohne eine Vorzeichenuntersuchung von , sondern mit dem bekannten Kriterium, das verwendet?
rg Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Es geht darum, daß der Schüler die Bedeutung von 5·3 erklärt.


Zahlen sind eine Abstraktion des menschlichen Geistes, 5·3 hat keine "Bedeutung". Man kann Zahlen aber natuerlich auf vielfaeltige Art und Weise interpretieren, z.B. auch als Streckenlaengen. Produkte kann man dann entweder als Flaecheninhalte oder auch wieder als Laenge einer Strecke, die man mit dem Strahlensatz konstruiert, deuten. In beiden Faellen ist kein Faktor ausgezeichnet und die Kommutativitaet ziemlich offensichtlich.

Ich habe auch eine Aufgabe fuer Dich. In der Primfaktorzerlegung 15 = 3·5: Welcher Faktor ist Multiplikand und welcher Multiplikator und warum ist eine Unterscheidung sinnvoll?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nachtrag
Zitat:
Original von rg
...
Im Duden werden Multiplikand und Multiplikator zwar als Begriffe erklaert, aber es wird nicht gesagt, welcher zuerst geschrieben werden muss.
...

Weil der Duden kein Mathematik-Nachschlagewerk ist und ihm das wahrscheinlich auch relativ egal ist Big Laugh
Ganz eindeutig ist der "kand" der erste und der "kator" der zweite, warum, das habe ich oben schon zu erklären versucht.

Zitat:
Original von Leopold
...
Wie viele Punkte würdet ihr dem Schüler oben geben, wenn er die Extrempunkte korrekt bestimmt hat, aber eben ohne eine Vorzeichenuntersuchung von , sondern mit dem bekannten Kriterium, das verwendet?

Ich würde ihm von den 4 Punkten dieses Abschnittes höchstens 3 geben, eben deswegen, weil er NICHT die geforderte Untersuchung des VZW durchgeführt hat.
Bei insgesamt 9 Punkten für diese Aufgabe ist dies immerhin noch fair.

mY+
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ rg

Natürlich haben Zahlen eine Bedeutung. Hätten sie das nicht, wäre die Mathematik inhaltsleer. Daß die Bedeutung der Zahlen sich letztlich im rein Geistigen manifestiert, steht außer Frage. Das Schlimmste, was einem Schüler passieren kann, ist, daß er mit den Begriffen der Mathematik keinen Sinn verbindet. Solche Schüler gibt es gewiß, und es sind nicht wenige. Aber weil sie nicht verstehen, was sie tun, halten sie sich an Äußerlichkeiten und Formalismen fest. Und wenn eine Aufgabe 1:1 gestellt wird wie das hundertmal Geübte, dann können sie diese Aufgabe auch meist lösen. Aber wehe, nur eine Kleinigkeit ist anders. Dann sind sie völlig hilflos.
Ich stelle mir gerade solch einen Schüler vor. Man übt mit ihm den Strahlensatz. Immer wieder die Strahlensatzfigur. Schließlich kann er die richtigen Verhältnisse aufstellen. Aber er weiß nicht, was er da tut. Er tut es nur formal, dem Lehrer zuliebe oder weil er Schaden, sprich schlechte Noten, von sich abwenden will. Hätte man ihm beigebracht, überall da, wo bei den Strahlensatzverhältnissen ein Bruchstrich steht, ein Pluszeichen zu machen, er würde es klaglos tun, ohne nachzufragen, was denn das solle. Und wenn eine Strahlensatzfigur in eine größere Figur eingebettet ist, erkennt er sie nicht, und selbst wenn man sie ihm zeigt, kann er von dem Übrigen, was er da sieht, nicht abstrahieren. In jeder Gymnasialklasse gibt es nach meiner Erfahrung Schüler mit diesen extremen Verständnisschwierigkeiten. Sie verbinden mit den Begriffen der Mathematik keine Bedeutung.
Ziel des Mathematikunterrichts muß es daher sein, möglichst vielen Schülern die Bedeutung der Gegenstände der Mathematik zu vermitteln. Je besser dies einem Lehrer gelingt, desto erfolgreicher sind seine Schüler. Daß es dabei immer hoffnungslose Fälle gibt, habe ich gerade geschildert.

Bei Primfaktorzerlegungen einen Unterschied der beiden Operanden zu suchen, sollte man besser bleiben lassen. Du brauchst mich da gar nicht testen oder hereinlegen zu wollen, weil ich mit dir in dieser Sache einer Meinung bin. Selbstverständlich gibt es in diesem Stadium der Mathematik keinen Unterschied der beiden Operanden, weshalb sie ja auch beide denselben Namen haben, nämlich Faktoren. Wir reden aber nicht von einem Fünft- oder Sechstkläßler, der schon viel Erfahrung beim Multiplizieren hat und der das Kommutativgesetz, ob nun explizit, weil im Unterricht behandelt, oder intuitiv durch die Erfahrung, kennt. Sondern wir reden von einem Drittkläßler, der gerade das Multiplizieren lernt. Und 3+3+3+3+3 ist doch etwas anderes als 5+5+5 (schon rein äußerlich wird man beim ersten Term etwas mehr Tinte brauchen als beim zweiten). Und etwas anderes als 4+4+4+4. Und etwas anderes als 1+2+3+4+5. Für die ersten drei gibt es Abkürzungen: 5·3, 3·5, 4·4, für den letzten Term, so eine Art "additive Fakultät", keine, jedenfalls keine mir bekannte. Die ersten beiden Terme und der letzte sind wertgleich. Der dritte Term 4·4 hat einen anderen Wert (warum eigentlich? es wurde doch nur von der Fünf 1 rüber zur Drei geschoben). Und da stellt sich für den Schüler die Frage, ob es Zufall ist, daß die Terme 5·3 und 3·5, die in der abgekürzten Schreibweise so ähnlich aussehen, denselben Wert haben. Und man wird im Unterricht nach weiteren Beispielen bald auf das Kommutativgesetz kommen. Und dann braucht man keinen Multiplikator und keinen Multiplikanden mehr, sondern kann von Faktoren sprechen. (Diese Begriffe sind sowieso nur für Fachleute, die über diese Dinge sprechen, für Drittkläßler sind sie irrelevant.)

@ mYthos

Multiplikator und Multiplikand würde ich gerade anders herum sehen. Bei 5·3=3+3+3+3+3 ist 5 der Multiplikator, er tut etwas, nämlich der 3, er vervielfacht sie nämlich. Der 3 dagegen geschieht etwas, sie wird verfünffacht. Wikipedia sieht es zunächst auch so, um allerdings wenige Zeilen weiter die Unterschiede aufzuheben. Da herrscht wohl einiges Chaos. Letztlich ist es eine Vereinbarung, was man Multiplikator und was Multiplikand nennt.
rg Auf diesen Beitrag antworten »

Mir gefaellt die Merkregel bei Wikipedia:

Zitat:
Produkt = Multiplikand · Multiplikator bzw. Multiplikator · Multiplikand = Produkt.


Der Multiplikant ist also der Faktor, der naeher am Gleichheitszeichen steht. Z.B.

5+5+5 = 5·3,

aber

5·3 = 3+3+3+3+3.

Da ist dann fuer fast jeden was dabei.

Bleibt noch anzumerken, dass bei Landaus Definition aber eben doch und in dieser Reihenfolge

5·3 = 5+5+5

rauskommt. Und so steht es seit 85 Jahren in jedem Buch und in jedem Vorlesungsskript.

smile
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