Skalarprodukt im R²

03.11.2015, 10:19

Hilflooooos

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Skalarprodukt im R²

Meine Frage:
Hallo smile

smile

kann mir jemand weiter helfen?

Wann gilt beim Skalarprodukt im R²: (a*b)²=a²*b²? (a und b sind Vektoren)
Immer? Nie? Manchmal? Begründung! Wenn "manchmal", beschreibe alle Fälle, bei denen diese Beziehung gilt.

Meine Ideen:
ich hätte mal berechnet das gilt (a*b)²=(a1ba+a2b2)²=a1²b1²+2a1b1a2b2+a2²b2²=a1²b1²+a2²b2²=a²*b²

und das gemischte Glied muss null ergeben oder? doch wann ist das der Fall?

03.11.2015, 14:51

Leopold

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Dein Ansatz ist gar nicht übel.

$\begin{align*} (ab)^2 = {a_1}^2 {b_1}^2 + {a_2}^2 {b_2}^2 + 2a_1 b_1 a_2 b_2 \end{align*}$

Soweit stimmt es. Nur hast du dich bei der Berechnung von $\begin{align*} a^2 b^2 \end{align*}$ vertan. Rechne diesen Teil noch einmal nach und setze dann die Terme gleich. Welche Bedingung erhältst du so insgesamt? Und dann gibt es da noch die zweite binomische Formel ...

03.11.2015, 15:09

Hilflooooos

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Der vorletzte Term stimmt nicht der müsste (a1²+a2²)*(b1²+b2²) lauten oder?
und muss der gemischte Term unbedingt null ergeben dass das stimmt?
Und die Fälle sind wenn a oder b ein Nullvektor ist oder?
Wie würdest du diese Fälle zeigen?
und gibt es noch andere?

03.11.2015, 15:15

Leopold

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Zitat:

Original von Hilflooooos
Der vorletzte Term stimmt nicht der müsste (a1²+a2²)*(b1²+b2²) lauten oder?

Jetzt multipliziere das einmal korrekt aus und setze es mit dem anderen Term gleich. Du kannst die Gleichung dann vereinfachen. Und im übrigen verweise ich auf den letzten Satz aus meinem vorigen Beitrag. Das ja schon mehr als ein Hinweis mit dem Zaunpfahl.

03.11.2015, 15:57

Hilflooooos

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Ich bin gerade ganz verwirrt!!!! Und kenn mich gar nicht mehr aus

03.11.2015, 16:06

Leopold

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$\begin{align*} (ab)^2 = {a_1}^2 {b_1}^2 + {a_2}^2 {b_2}^2 + 2a_1 b_1 a_2 b_2 \end{align*}$

$\begin{align*} a^2 b^2 = \left( {a_1}^2 + {a_2}^2 \right) \left( {b_1}^2 + {b_2}^2 \right) = {a_1}^2 {b_1}^2 + {a_1}^2 {b_2}^2 + {a_2}^2 {b_1}^2 + {a_2}^2 {b_2}^2 \end{align*}$

Es ist gefragt, unter welcher Bedingung $\begin{align*} (ab)^2 = a^2 b^2 \end{align*}$ ist. Daher setzen wir beide Terme gleich und erhalten, wenn wir alles auf eine Seite bringen:

$\begin{align*} {a_1}^2 {b_2}^2 - 2a_1 b_1 a_2 b_2 + {a_2}^2 {b_1}^2 = 0 \end{align*}$

Und nun du.

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03.11.2015, 16:12

Hilflooooos

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Das ist ja dann der Fall wenn a=0 oder b=0 ist oder?

03.11.2015, 16:25

Leopold

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Hier einmal ein paar Beispiele. In welchen ist die Bedingung erfüllt?

Beispiel 1
$\begin{align*} a = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \, , \ \ b = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix} \end{align*}$

Beispiel 2
$\begin{align*} a = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \, , \ \ b = \begin{pmatrix} 3 \\ 11 \end{pmatrix} \end{align*}$

Beispiel 3
$\begin{align*} a = \begin{pmatrix} -9 \\ 3 \end{pmatrix} \, , \ \ b = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} \end{align*}$

Beispiel 4
$\begin{align*} a = \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \end{pmatrix} \, , \ \ b = \begin{pmatrix} 6 \\ -10 \end{pmatrix} \end{align*}$

03.11.2015, 16:35

Hilflooooos

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Im Beispiel 1 und 2 oder?

also wenn ein Vektor ein Nullvektor ist oder wenn sie parallel liegen oder?

03.11.2015, 16:41

Leopold

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Zitat:

Original von Hilflooooos
Im Beispiel 1 und 2 oder?

Und natürlich auch im Beispiel 3.

Zitat:

Original von Hilflooooos
also wenn ein Vektor ein Nullvektor ist oder wenn sie parallel liegen oder?

So ist es. Drücken wir es besser so aus: wenn die Vektoren linear abhängig sind. Da ist der Fall mit dem Nullvektor gleich dabei.

Jetzt mußt du dieses noch so umformen, um den Schluß allgemein durchführen zu können:

Zitat:

Original von Leopold
$\begin{align*} {a_1}^2 {b_2}^2 - 2a_1 b_1 a_2 b_2 + {a_2}^2 {b_1}^2 = 0 \end{align*}$

Und wie das geht, steht schon in meinem ersten Beitrag. (Der Zaunpfahl ist inzwischen zum Schiffsmast angewachsen.)

03.11.2015, 16:51

Hilflooooos

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Danke vielmals!!!
Gott

Gott

Zitat:

Und wie das geht, steht schon in meinem ersten Beitrag. (Der Zaunpfahl ist inzwischen zum Schiffsmast angewachsen.)

Ich kapier das immer noch nicht ganz

03.11.2015, 17:05

Leopold

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Z W E I T E
B I N O M I S C H E
F O R M E L

03.11.2015, 17:15

Hilflooooos

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Aso das meinst du das hab ich irgenwie überlesen

also (a-b)²=0 a,b als Vektoren

03.11.2015, 17:21

Leopold

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Nein, wir sind bei

$\begin{align*} {a_1}^2 {b_2}^2 - 2a_1 b_1 a_2 b_2 + {a_2}^2 {b_1}^2 = 0 \end{align*}$

nicht bei Vektoren. Alle hier vorkommenden Variablen sind reelle Zahlen. Offenbar erkennst du die zweite binomische Formel nicht. Dann laß es dir gesagt sein: die linke Seite ist ein Binom. Schreibe es hin. Wenn du es nicht schaffst, bleibt mir nichts anderes mehr übrig, als das Ergebnis anzugeben.

03.11.2015, 17:24

Hilflooooos

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nein ich komme nicht drauf tut mir leid

03.11.2015, 17:26

Leopold

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$\begin{align*} {a_1}^2 {b_2}^2 - 2a_1 b_1 a_2 b_2 + {a_2}^2 {b_1}^2 = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \left( a_1 b_2 - a_2 b_1 \right)^2 = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ a_1 b_2 - a_2 b_1 = 0 \end{align*}$

Diese Formel stimmt auf jeden Fall, wenn $\begin{align*} a \end{align*}$ der Nullvektor ist. Wenn nun $\begin{align*} a \end{align*}$ nicht der Nullvektor ist, muß eine seiner Koordinaten von Null verschieden sein. Nehmen wir an, es wäre $\begin{align*} a_1 \neq 0 \end{align*}$ . Dann können wir die letzte Gleichung weiter umformen zu

$\begin{align*} b_2 = \color{red} \frac{b_1}{a_1} \color{black} \cdot a_2 \end{align*}$

Wenn wir den roten Teil als $\begin{align*} \lambda = \frac{b_1}{a_1} \end{align*}$ definieren, gilt

$\begin{align*} b_2 = \lambda \cdot a_2 \end{align*}$

Das allein wäre noch nicht weiter aufregend. Aber jetzt berechne einmal $\begin{align*} \lambda \cdot a_1 \end{align*}$ gemäß Definition von $\begin{align*} \lambda \end{align*}$ .

03.11.2015, 17:35

Hilflooooos

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Da kommt dann b1 raus oder?
und dass zeigt dann dass sie linear abhängig sind oder?

03.11.2015, 17:39

Leopold

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$\begin{align*} b_1 = \lambda a_1 \, , \ \ b_2 = \lambda a_2 \end{align*}$

Das erste hast du selbst gerade ausgerechnet, das zweite habe ich dir oben vorgerechnet.

$\begin{align*} \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \end{align*}$

Herz, was willst du mehr!

03.11.2015, 17:45

Hilflooooos

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Danke du bist der Beste!!!

03.11.2015, 17:47

Leopold

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Danke für das Lob. Dir sollte aber klar sein: Zu Beginn unserer Zusammenarbeit hast du noch ein paar Dinge selbst erledigt. Weit mehr als die Hälfte der Arbeit stammt aber von mir. Man kann deshalb nicht davon ausgehen, daß du das verstanden hast. Du solltest daher jeden einzelnen Schritt der Argumentation noch einmal durchgehen. Am besten schreibst du das Ganze von Anfang an ordentlich auf und versuchst dabei, möglichst wenig zu spicken.

03.11.2015, 18:29

Hilflooooos

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Danke ja das mach ich sowieso weil wenn ich nicht weiß warum ich was mache bringt es mir ja nichts aber nochmals danke für alles

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