Verhalten an Polstellen "ablesen"

03.11.2015, 15:47

DerApfel

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Verhalten an Polstellen "ablesen"

Hallo,

bei der gebrochen-rationalen Funktion:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{2}-7x+6}{x^{3}-6x^{2}+11x-6} \end{eqnarray*}$

soll man das Verhalten der Funktion an den Definitionslücken bestimmen.

Den Zähler kann man ja auch $\begin{eqnarray*} (x-1)*(x-6) \end{eqnarray*}$ schreiben.
Geratene NST des Nenners: x = 1, Polynomdivision:
$\begin{eqnarray*} \frac{x^{3}-6x^{2}+11x-6}{x-1} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} x^{2}-5x+6 \end{eqnarray*}$

also: $\begin{eqnarray*} \frac{(x-1)*(x-6)}{(x-1)*(x-3)*(x-2)} \end{eqnarray*}$

Definitionslücke 1 kann also behoben werden mit $\begin{eqnarray*} P(1|\frac{-5}{2}) \end{eqnarray*}$

aber wie lese ich nun das Verhalten an den Polstellen $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=3 \end{eqnarray*}$ ab?

Also so z.B. $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{2^{+}} \end{eqnarray*}$

03.11.2015, 16:17

rudizet

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RE: Verhalten an Polstellen "ablesen"
Hallo DerApfel,
es sind folgende Grenzwerte zu berechnen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2} \frac{x-6}{(x-2)(x-3)} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 3} \frac{x-6}{(x-2)(x-3)} \end{eqnarray*}$ .
In beiden Fällen kommt das Gleiche raus.
Gruß von rudizet

03.11.2015, 16:32

DerApfel

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$\begin{eqnarray*} <br /> \lim_{x \to 2} \frac{x-6}{(x-2)(x-3)} = -\infty<br /> \lim_{x \to 3} \frac{x-6}{(x-2)(x-3)} = -\infty \end{eqnarray*}$ vielleicht?

03.11.2015, 16:40

IfindU

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Leider hat rudizet die Frage nicht verstanden.

Also du interessierst dich dafür was passiert, wenn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nahe an 2 ist, aber immer größer ist als 2. Es ist klar, dass der Term im Betrag explodiert wenn x gegen 2 konvergiert, die Frage ist nur ob man plus oder minus Unendlich als (uneigentlichen) Grenzwert festnageln kann.

Schauen wir uns also die Vorzeichen an: Wenn x kaum größer als 2 ist, was machen also die Vorzeichen von $\begin{eqnarray*} x -6 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x - 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x - 3 \end{eqnarray*}$ ?

03.11.2015, 16:43

DerApfel

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Der Zähler ist negativ und der Nenner ist 0 daher dachte ich $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$

03.11.2015, 16:45

IfindU

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Wir sind nicht bei $\begin{eqnarray*} x = 2 \end{eqnarray*}$ , sondern bei $\begin{eqnarray*} x > 2 \end{eqnarray*}$ , auch wenn sehr nahe an der 2. Am Ende wollen wir den Abstand von x zur 2 natürlich immer kleiner ("unendlich klein") wählen, aber in diesem Moment ist es wirklich größer als 2. Denk dir z.B. $\begin{eqnarray*} x = 2.5 \end{eqnarray*}$ . Was machen die Vorzeichen im Nenner?

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03.11.2015, 16:58

DerApfel

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Sind auch negativ unglücklich

unglücklich

Warum betrachten wir nicht x < 2? Dann wärs positiv.

03.11.2015, 17:00

IfindU

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Du hattest im ersten Post $\begin{eqnarray*} 2^+ \end{eqnarray*}$ geschrieben. Nachdem man das bestimmt hat, kann man $\begin{eqnarray*} 2^- \end{eqnarray*}$ analog bestimmen und hat dann das Verhalten der Singularität um die 2.

Und du musst präziser sein. Ist der ganze Nenner negativ, oder beide Faktoren?

03.11.2015, 20:46

DerApfel

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Danke für deine Hilfe.

Zitat:

Ist der ganze Nenner negativ, oder beide Faktoren?

Es ist ein Faktor negativ $\begin{eqnarray*} x-3 \end{eqnarray*}$ und daher der ganze Nenner.

Noch mal eine grundsätzlich Frage: Ist die Grenzwertbestimmung das gleiche wie das hier:

bei $\begin{eqnarray*} x \to 2 \end{eqnarray*}$ geht $\begin{eqnarray*} f(x) \to -\infty \end{eqnarray*}$ ?

Und was genau spielt dann $\begin{eqnarray*} 2^{+} \end{eqnarray*}$ für eine Rolle?

03.11.2015, 20:53

IfindU

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Wir haben also einen negativen Zähler, und einen negativen Nenner. D.h. der Bruch ist positiv! Also haben wir $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2^+} \frac { x-6}{(x-2)(x-3)} = + \infty \end{eqnarray*}$ .

Die Notation $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 2} \end{eqnarray*}$ verwendet man nur, wenn der rechtsseitige Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2^+} \end{eqnarray*}$ und der linksseitige $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 2^-} \end{eqnarray*}$ gleich sind. Dabei verwende ich das Plus und Minus um die Richtung von rechts oder links zu symbolisieren.

Du kannst ja jetzt mal überprüfen was passiert wenn man sich von links an die Polstelle annährt, d.h. $\begin{eqnarray*} x < 2 \end{eqnarray*}$ , aber x nahe an der 2.

03.11.2015, 21:00

DerApfel

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Zitat:

Dabei verwende ich das Plus und Minus um die Richtung von rechts oder links zu symbolisieren.

Ah, okay!

Wenn $\begin{eqnarray*} 2^{-} \end{eqnarray*}$ nun verschieden von $\begin{eqnarray*} 2^{+} \end{eqnarray*}$ wäre, wie würde man das dann notieren bzw. wie komm ich da überhaupt drauf wenn ich das nicht aufzeichnen darf / kann?

Zitat:

Du kannst ja jetzt mal überprüfen was passiert wenn man sich von links an die Polstelle annährt, d.h. $\begin{eqnarray*} x < 2 \end{eqnarray*}$ , aber x nahe an der 2.

wird auch wieder $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$

Edit: Geht die Funktion für $\begin{eqnarray*} 3^{+} \end{eqnarray*}$ nicht gegen $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ ?

04.11.2015, 06:42

IfindU

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Für $\begin{eqnarray*} x \to 2^- \end{eqnarray*}$ stimmt es nicht. Es gibt einen Grund warum ich das so im Detail durchgehen will. Und wenn der Grenzwert von beiden Seiten etwas anderes ergibt, schreibt man einfach die Grenzwerte von beiden Seiten auf. Was einen ja wirklich interessiert ist der Graph qualitativ.

Hier mal ein Plot um die 2 herum, vlt kannst du dir besser vorstellen wie die Funktion aussieht.

04.11.2015, 09:31

DerApfel

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Okay, ich hoffe es verstanden zu haben, noch ein Punkt:

Geht die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x-6}{(x-2)(x-3)} \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} x\to3^{+} \end{eqnarray*}$ nicht gegen $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ ?
Wenn ich z.B. 3,2 einsetze kommt was negatives raus?

Dann müsste man bei der Polstelle $\begin{eqnarray*} x=3 \end{eqnarray*}$ doch noch genauer zwischen $\begin{eqnarray*} 3^{-} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 3^{+} \end{eqnarray*}$ unterscheiden?

Also so vllt?

$\begin{eqnarray*} <br /> \lim_{x \to 3^{-}} \frac{x-6}{(x-2)(x-3)} = +\infty<br /> \lim_{x \to 3^{+}} \frac{x-6}{(x-2)(x-3)} = -\infty<br /> \end{eqnarray*}$

Noch eine weitere Frage: Die Funktion hätte dann eine waagerechte Asymptote bei $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ da ja Zählergrad < Nennergrad?

04.11.2015, 12:06

IfindU

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Alles richtig Freude

Freude

Hier zur Visualiserung der Pol um die 3, und man sieht schon das asymptotische Verhalten für große x.
[/quote]

04.11.2015, 12:25

DerApfel

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Okay, dann noch eine Aufgabe ^^

Also $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x^{3}-3x^{2}+4}{x^{3}-3x-2} \end{eqnarray*}$

Die waagerechte Asymptote liegt bei $\begin{eqnarray*} y=1 \end{eqnarray*}$ da Zählergrad = Nennergrad: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1} \end{eqnarray*}$

Geratene Nullstelle des Nenners: $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$

Polynomdivision:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{3}-3x^{2}+4}{x-2} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} x^{2}+2x+1 \end{eqnarray*}$

Nenner lautet also: $\begin{eqnarray*} (x+1)^{2}*(x-2) \end{eqnarray*}$

Geratene Nullstelle des Zählers: $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$

Polynomdivision des Zählers:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{3}-3x^{2}+4}{x-2} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} x^{2}-x-2 \end{eqnarray*}$

Zähler lautet also: $\begin{eqnarray*} (x-2)^{2} * (x+1) \end{eqnarray*}$

-> $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{(x-2)^{2}*(x-1)}{(x+1)^{2}*(x-2)} \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \mathbb{D}_f = \mathbb{R} \backslash \big\{-1;2\big\} \end{eqnarray*}$
-> $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{(x-2)*(x-1)}{(x+1)^{2}} \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \mathbb{D}_f = \mathbb{R} \backslash \big\{-1\big\} \end{eqnarray*}$

Definitionslücke $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ kann also mit $\begin{eqnarray*} P(2|0) \end{eqnarray*}$ behoben werden.

Grenzwerte:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -1^{-}} \frac{(x-2)*(x-1)}{(x+1)^{2}} = +\infty<br /> \lim_{x \to -1^{+}} \frac{(x-2)*(x-1)}{(x+1)^{2}} = +\infty \end{eqnarray*}$

Warum haben diese blöden Schulbücher keine Lösungen?

04.11.2015, 20:16

IfindU

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Für solche Aufgaben braucht man ja generell keine Lösung. Plots bestätigen oder widerlegen ziemlich schnell Rechnungen. Ich habe mal Wolfram Alpha rechnen lassen Link.

Er vereinfacht $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac {x^3 - 3x^2 + 4}{3x^3 - 3x - 2} = \frac { x-2}{x+1} \end{eqnarray*}$ .

Das hast du eigentlich auch, bis du Grenzwerte anschaust und plötzlich aus einem $\begin{eqnarray*} x+1 \end{eqnarray*}$ plötzlich $\begin{eqnarray*} x-1 \end{eqnarray*}$ wird.

05.11.2015, 21:08

DerApfel

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Stimmt, da hatte ich einen Fehler drinnen.

Dann hab ich noch eine weitere Aufgabe mit Parametern, nämlich

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{(a-x)^{3}}{(x-a)^{4}} \end{eqnarray*}$

Hier soll man bestimmen, welche Art von Definitionslücke vorliegt und den Grenzwert berechnen und Fallunterscheidungen treffen wobei $\begin{eqnarray*} a \in\mathbb{R}\backslash \{0\} \end{eqnarray*}$ .

Das ganze lässt sich doch kürzen zu:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{(a-x)} \end{eqnarray*}$

Wo genau gibt es dann hier Fallunterscheidungen?

Definitionslücke ist demnach $\begin{eqnarray*} x=a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> \lim\limits_{x \rightarrow a^{+}}{f(x)} = -\infty<br /> \lim\limits_{x \rightarrow a^{-}}{f(x)} = \infty<br /> \end{eqnarray*}$

Um zu untersuchen, ob sich der Graph bei der waagerechten Asymptote von unten oder oben annähert, mache ich doch folgendes, oder?

$\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> \lim\limits_{x \rightarrow +\infty}{f(x)} = 0^{-}<br /> \lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f(x)} = 0^{+}<br /> \end{eqnarray*}$

Also nähert sich der Graph links von oben und rechts von unten an, oder?

06.11.2015, 05:51

IfindU

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Perfekt

Freude

06.11.2015, 15:34

DerApfel

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Okay

smile

Bei der Aufgabe vom selben Typ:

$\begin{eqnarray*} <br /> f(x) = \frac{x^{2}-a^{2}}{(a-x)^{4}} = \frac{(x-a)(x+a)}{(a-x)^{4}} = \frac{x+a}{(x-a)^{3}}<br /> \end{eqnarray*}$

Definitionslücke: $\begin{eqnarray*} x=a \end{eqnarray*}$

Fallunterscheidung: $\begin{eqnarray*} a<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> \lim_{x \to a^{+}} f(x) = -\infty<br /> \lim_{x \to a^{-}} f(x) = +\infty<br /> \end{eqnarray*}$

Fallunterscheidung: $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> \lim_{x \to a^{+}} f(x) = +\infty<br /> \lim_{x \to a^{-}} f(x) = -\infty<br /> \end{eqnarray*}$

Asymptote: $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> \lim_{x \to \infty} f(x) = 0^{-}<br /> \lim_{x \to -\infty} f(x) = 0^{+}<br /> \end{eqnarray*}$

=> Von rechts nähert sich der Graph von unten, von links von oben.

Ich hoffe mal das stimmt auch? unglücklich

unglücklich

Bei der nächsten Aufgabe hab ich allerdings richtig Probleme:

"Untersuchen Sie, ob die Definitionslücke eine Polstelle ist. Stellen Sie ggf. fest ob mit oder ohne VZW"

$\begin{eqnarray*} <br /> f(x)=\frac{x^{3}-6ax^{2} + 12a^{2}x-8a^{3}}{(x+2a)^{2}}<br /> \end{eqnarray*}$

Ich hab den Zähler einfach mal ohne $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ in eine Wertetabelle eingegeben, der hat mir dann bei $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle ausgegeben.

Bei $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ sieht der Nenner so aus:

$\begin{eqnarray*} <br /> 8-24a+24a^{2}-8a^{3} = -8a^{3}+24a^{2}-24a+8<br /> \end{eqnarray*}$

Geratene NST bei $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ .

Polynomdivision ergibt: $\begin{eqnarray*} -8a^{2}+16a-8 \end{eqnarray*}$ . Die hat eine doppelte NST bei 1, also:

$\begin{eqnarray*} -8(a-1)^{2} \end{eqnarray*}$ ?

Mit der geratenen NST ergibt das: $\begin{eqnarray*} -8(a-1)^{3} \end{eqnarray*}$

Mit der NST von $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ ergibt das: $\begin{eqnarray*} -8(a-1)^{3}*(x-2) \end{eqnarray*}$

Wenn ich dann beim Nenner $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ einsetze, kommt das raus:
$\begin{eqnarray*} x^{2}+4x+4 = (x+2)^{2} \end{eqnarray*}$
Mit $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ multipliziert: $\begin{eqnarray*} (x+2)^{2}*(a-1) \end{eqnarray*}$

Ergibt:

$\begin{eqnarray*} <br /> f(x)=\frac{-8(a-1)^{3}*(x-2)}{(a-1)(x+2)^{2}} = \frac{-8(a-1)^{2}*(x-2)}{(x+2)^{2}}<br /> \end{eqnarray*}$

Ich glaub das war kompletter Blödsinn, was muss man da wirklich machen?

06.11.2015, 15:47

IfindU

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Der erste Teil stimmt, es fehlt bloss der Fall $\begin{eqnarray*} a = 0 \end{eqnarray*}$ .

Bei dem anderen hast du dich leider völlig verhauen. Ich geb dir mal den Hinweis, dass $\begin{eqnarray*} 2a \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle des Zählers ist. (Da bei dir a = 1 war, kamst du auf 2). Bei kubischen Gleichungen bieten sich auch binomische Formeln an, auch wenn die deutlich schwieriger zu sehen sind.

06.11.2015, 15:58

DerApfel

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Zitat:

Der erste Teil stimmt, es fehlt bloss der Fall

Hab vergessen zu erwähnen, dass wie beim letzten $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb{R} \backslash \big\{0\big\} \end{eqnarray*}$

Ich bin bei solche Aufgaben immer unsicher, ob ich jetzt schauen soll, ob sich was kürzen lässt oder ob ich einfach den $\begin{eqnarray*} \lim \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} -2a \end{eqnarray*}$ ausrechnen soll (wobei das beim Zähler komplett lächerlich ist).

Wie kommt man auf 2a? Ich seh da gar nix unglücklich

unglücklich

Und es stimmt auch noch geschockt

geschockt

06.11.2015, 16:09

DerApfel

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Okay, danke für den Tipp:

Polynomdivision von:

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{x^{3}-6ax^{2}+12a^{2}x-8a^{3}}{x-2a} = x^{2}-4ax+4a^{2} = (x-2a)^{2}<br /> \end{eqnarray*}$

=

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{(x-2a)^{3}}{(x+2a)^{2}}<br /> \end{eqnarray*}$

Definitionslücke bleibt aber irgendwie gleich => Polstelle?

06.11.2015, 16:17

IfindU

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Es ist $\begin{eqnarray*} x^3 - 6ax^2 + 12a^2 x - 8a^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot (-2a) + 3 \cdot x \cdot (-2a)^2 + (-2a)^3 = (x-2a)^3 \end{eqnarray*}$ laut binomischer Formel. Aber wie gesagt ist es bei drittem Grad nicht mehr so leicht zu sehen.

Und du machst es dir bei den Nullstellen im Nenner zu schwer: Wann ist denn $\begin{eqnarray*} (x + 2a)^3 =0 \end{eqnarray*}$ ? Ohne ausmultiplizieren sieht man es sofort aka "Ein Produkt wird 0, genau dann wenn ... "

06.11.2015, 16:23

DerApfel

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Zitat:

Und du machst es dir bei den Nullstellen im Nenner zu schwer: Wann ist denn

Bei $\begin{eqnarray*} x=-2a \end{eqnarray*}$

Zitat:

Ein Produkt wird 0, genau dann wenn ...

Einer seiner Teile 0 ergibt?

06.11.2015, 16:27

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Also untersuche doch mal wieder $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -2a} \end{eqnarray*}$ von links und von rechts.

06.11.2015, 16:41

DerApfel

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$\begin{eqnarray*} <br /> \lim_{x \to -2a^{-}} f(x) = -\infty<br /> \lim_{x \to -2a^{+}} f(x) = -\infty<br /> \end{eqnarray*}$

?

Also kein VZW.

06.11.2015, 17:31

IfindU

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Stimmt -- für die Hälfte der $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , die einen interessieren. Siehe deine vorherige Aufgabe und korrekter Lösung.

06.11.2015, 18:10

DerApfel

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Stimmt

unglücklich

$\begin{eqnarray*} <br /> a>0:<br /> <br /> \lim_{x \to -2a^{+}} f(x) = -\infty<br /> \lim_{x \to -2a^{-}} f(x) = -\infty<br /> <br /> a<0:<br /> <br /> \lim_{x \to -2a^{+}} f(x) = \infty<br /> \lim_{x \to -2a^{-}} f(x) = -\infty<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Aber was antwortet man dann auf die Frage, ob es eine Polstelle mit VZW ist?

Bei $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ nein, bei $\begin{eqnarray*} a<0 \end{eqnarray*}$ ja?

06.11.2015, 18:15

IfindU

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Man antwortet bei beiden mit "Kein VZW" Augenzwinkern

Augenzwinkern

Überprüf noch einmal deine Lösung.

06.11.2015, 18:21

DerApfel

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Nehmen wir mal an, $\begin{eqnarray*} a=5 \end{eqnarray*}$ . Ist dann für $\begin{eqnarray*} x \to -2a^{+} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x=-10.5 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x=-9.5 \end{eqnarray*}$ ? Größer bedeutet im negativen ja näher der Null also eigentlich $\begin{eqnarray*} x=-9.5 \end{eqnarray*}$ ?

06.11.2015, 18:36

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst das richtige, aber die Formulierung ist extrem unsauber: Ist $\begin{eqnarray*} x\to -2a^+ \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} x > -2a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \to -2^+ \end{eqnarray*}$ . In deinem Fall mit $\begin{eqnarray*} a = 5 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} x > -10 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\to -10 \end{eqnarray*}$ . Und ein x was die erste Bedingung erfüllt, wäre z.B. $\begin{eqnarray*} x = -9.5 \end{eqnarray*}$ . (Du bist reicher wenn du nur 9.50 Euro Schulden hast, als wenn du 10 Euro Schulden hast)

06.11.2015, 20:19

DerApfel

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Also gut, nochmal:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{(x-2a)^{3}}{(x+2a)^{2}} \end{eqnarray*}$

Zum einfacheren Rechnen gehe ich von $\begin{eqnarray*} (x-a)^{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x+a)^{2} \end{eqnarray*}$ aus.
1. $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} a=5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \to -5^{+} = -4.5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(-4.5) = \frac{-}{+} = -\infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \to -5^{-} = -5.5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(-5.5) = \frac{-}{+} = -\infty \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} a<0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a=-5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \to 5^{+} = 5.5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(5.5) = \frac{+}{+} = +\infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \to 5^{-} = 4.5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(4.5) = \frac{+}{+} = +\infty \end{eqnarray*}$

Was mach ich falsch?

06.11.2015, 20:24

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt stimmt es. Du hast nämlich jetzt bei beiden Fällen keinen VZW. Der Nenner ist nämlich immer positiv und der Zähler hat immer das Vorzeichen von a.

06.11.2015, 20:59

DerApfel

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Danke ^^

Freude

Oh mann, das macht mich fertig verwirrt

verwirrt

07.11.2015, 07:36

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige, ich meinte natürlich der Zähler hat das gedrehte Vorzeichen von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ !

07.11.2015, 15:47

DerApfel

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$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x+a}{(x-a)^{2}} \end{eqnarray*}$

Polstelle $\begin{eqnarray*} x=a \end{eqnarray*}$
Asymptote $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a^{+}}f(x) = +\infty \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a^{-}}f(x) = +\infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a<0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a^{+}}f(x) = -\infty \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a^{-}}f(x) = -\infty \end{eqnarray*}$

Also kein VZW.

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x-a}{a^{2}+2ax+x^{2}} = \frac{x-a}{(x+a)^{2}} \end{eqnarray*}$
Polstelle: $\begin{eqnarray*} x=-a \end{eqnarray*}$
Asymptote: $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -a^{+}}f(x) = -\infty \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -a^{-}}f(x) = -\infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a<0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -a^{+}}f(x) = +\infty \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -a^{-}}f(x) = +\infty \end{eqnarray*}$

Kein VZW.

07.11.2015, 16:14

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Das zweite hättest du dir sparen können. Offenbar hat man dort $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ einfach durch $\begin{eqnarray*} -a \end{eqnarray*}$ ersetzt, dementsprechend spiegeln sich genau die Fälle Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.11.2015, 16:27

DerApfel

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich glaub so langsam kapier ichs:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{ax}{x-a} \end{eqnarray*}$
Polstelle: $\begin{eqnarray*} x=a \end{eqnarray*}$
Asymptote: $\begin{eqnarray*} y=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a^{+}}f(x)=+\infty \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a^{-}}f(x)=-\infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to a^{+}}f(x)=+\infty \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to a^{-}}f(x)=-\infty \end{eqnarray*}$

VZW.

07.11.2015, 16:40

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von DerApfel
Okay, ich glaub so langsam kapier ichs:

Das einzig falsche an dem Beitrag Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.11.2015, 16:51

DerApfel

Auf diesen Beitrag antworten »

Freude

Wink

1

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