Bild und Kern von Gruppenhomomorphismen

04.11.2015, 21:01	Martell	Auf diesen Beitrag antworten »
Bild und Kern von Gruppenhomomorphismen Meine Frage: Kann mir einer erklären wie genau ich das Bild und den Kern von Homomorphismen kriege ? Am besten allgemein und an diesem Beispiel: $\begin{eqnarray} f_{1}: \mathbb Z \Rightarrow \mathbb Z ^{2}, a \Rightarrow (2a,3a)<br /> \end{eqnarray}$ Meine Ideen: ..
05.11.2015, 09:16	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit welchen Operationen soll $\begin{eqnarray} f_1 \end{eqnarray}$ verträglich sein, damit man von einem Homomorphismus sprechen kann ? Homomorphismen sind strukturerhaltende Abbildungen, eine Struktur ist mehr als eine Menge, denn sie ist eine Menge $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ zusammen mit Operationen $\begin{eqnarray} \varphi :M\times M\to M \end{eqnarray}$ .
11.11.2015, 15:30	Martell	Auf diesen Beitrag antworten »
entschuldige, dass ich erst so spät darauf antworte. In der Aufgabenstellung steht, dass wir davon ausgehen sollen, dass es gruppenhomomorphismen sind und man das nicht nachprüfen muss mehr Informationen gibt es eigentlich nicht
11.11.2015, 19:44	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die erste Frage muss heißen Sind $\begin{eqnarray} (\mathbb Z,+) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (\mathbb Z^2,+) \end{eqnarray}$ Gruppen ? Um das zu beantworten musst Du wissen, dass jede Gruppe ein neutrales Element hat, zu jedem Element muss ein inverses Element existieren, und die Addition muss assoziativ sein. Die zweite Frage lautet (falls die Antwort auf die erste Frage JA ist) Ist $\begin{eqnarray} f_1 (\mathbb Z,+) \to (\mathbb Z^2,+) , a\mapsto (2a,3a) \end{eqnarray}$ ein Gruppenhomomorphismus ? Dazu berechnest Du zu $\begin{eqnarray} x,y \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ die drei Bilder $\begin{eqnarray} f_1(x),f_1(y),f_1(x+y) \end{eqnarray}$ und fragst $\begin{eqnarray} f_1(x+y)=f_1(x)+f_1(y) \end{eqnarray}$ ? Drittens (falls die Antwort auf die zweite Frage JA ist) $\begin{eqnarray} Kern(f_1):=\{x\in \mathbb Z:f_1(x)=NULL\}\subseteq \mathbb Z \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} NULL \end{eqnarray}$ das neutrale Element in $\begin{eqnarray} (\mathbb Z^2,+) \end{eqnarray}$ ist (spätestens jetzt muss klar sein, dass Du die Gruppe verstehen musst, bevor Du den Kern berechnen kannst). $\begin{eqnarray} Bild(f_1):=\{f_1(x):x\in \mathbb Z\}\subseteq \mathbb Z^2 \end{eqnarray}$ . Wenn $\begin{eqnarray} f_1 \end{eqnarray}$ ein Gruppenhomomorphismus ist, dann ist $\begin{eqnarray} (Kern(f_1),+) \end{eqnarray}$ eine Untergruppe von $\begin{eqnarray} (\mathbb Z,+) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (Bild(f_1),+) \end{eqnarray}$ eine Untergruppe von $\begin{eqnarray} (\mathbb Z^2,+) \end{eqnarray}$

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