Taylor-Reihe

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Integraluss Auf diesen Beitrag antworten »
Taylor-Reihe
Heyho,

ich mische mal wieder im Mathematik-Geschäft mit smile .

Eine Frage zu folgendem Beispiel:
Ich soll zeigen, dass

Also das ist ja sehr einfach:
Nun habe ich gezeigt, dass das stimmt, was "angenommen" wurde.

Und jetzt kommts: "Untersuchen Sie das Restglied dieser Taylor-Reihe von sinh(x)."
Wenn da nun R_(4) stehen würde, dann wärs mir klar, denn dann müsste ich nur das Restglied für das 4te Taylorpolynom berechnen, also unter Restglied versteht man doch den Fehler, den man macht, wenn man nicht unendlich viele Terme addiert, um auf die Funktion zu kommen. Naja man kann ikm Prinzip nichts unendlich dividieren, abe wenn man es oft macht, eleminierst sich der Fehler immer mehr.

mit 2n+1 werden doch alle ungerade Taylor-Polynome gemeint, da ich nur ungerade habe, aber bis zu welchen jetzt soll ich das Restglied bestimmen?

MfG
Integraluss
rg Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylor-Reihe
Der Taylorsche Satz sagt nur, dass



ist. Wenn



gelten soll, dann muss



fuer alle gelten. Das sollst Du zeigen! Oder glaubst Du etwa, das sei selbstverstaendlich und man koenne jede Funktion in eine Reihe entwickeln, weil der Rest automatisch gegen Null geht?
Integraluss Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, das Restglied schaut ja dann so aus, wobei Null oder Eins ist:



Und da soll n gegen Unendlichen und es soll Null rauskommen?

Hm, mir ist aber nicht klar, wie da Null rauskommen soll.
rg Auf diesen Beitrag antworten »

Also erstens ist nicht 0 oder 1, sondern es liegt irgendwo (genaueres unbekannt) echt dazwischen, zweitens ist hier ja und konkret gegeben. Das muesstest Du mal alles einsetzen und ausrechnen, bevor man weiterreden kann.
Integraluss Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, okay.

Naja x0 einsetzen ist einfach, aber wie soll ich die (2n+1)te Ableitung von sinh(x) hinschreiben?

Etwas so? ?
rg Auf diesen Beitrag antworten »

Schon ausrechnen. Vielleicht kommst Du ja auf den Trichter, wenn Du die ersten paar Ableitungen von sinh x mal zu Papier gebracht hast?
 
 
Integraluss Auf diesen Beitrag antworten »

Naja jede ungerade Ableitung von sinh(x) ergibt cosh(x) und jede gerade Ableitung ergibt sinh(x). Und für x=0 ergibt, sieht man dann, dass die sinh-Terme wegfallen und die cosh-Terme überbleiben

Und die unendliche Ableitung für sinh(x) kann ich ja nicht berechnen, ich verstehe nicht, was ich genau tun soll.

Würde da stehen R_4(x) berechnen, dann wärs einfach, denn f^{(5)} eine konkrete Ableitung, nämlich die 5. Ableitung von sinh(x), was cosh(x) z.B. wäre.
rg Auf diesen Beitrag antworten »

Kann es sein, dass 2n+2 stets gerade und deshalb



ist? Was meinst Du?
Integraluss Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, stimmt. Ich habe das zwar in Worten gefasst, aber brachte es nicht zusammen, dass ich es in dieser Form hinschrieb.

Und nun soll ich zeigen, dass wenn n gegen unendlich geht, dass das Restgield Null wird?

Naja für das müsste doch sein, sodass das Restglied auch Null ist, aber ist es das auch?
rg Auf diesen Beitrag antworten »

Von ist nur bekannt, dass es zwischen 0 und 1 liegt und von x abhaengt, mehr weiss man generell nicht. Du musst jetzt noch zeigen, dass das hier egal ist und trotzdem fuer jedes x gilt. Schaetze doch ein bisschen ab. Ueberlege Dir dazu, fuer welches betragsmaessig bei gegebenem x am groessten wird.
Integraluss Auf diesen Beitrag antworten »

Ah danke!

D.h. wenn ist, dann hat den größten Wert, bei ist es Null. Oder?
rg Auf diesen Beitrag antworten »

Und was ist dann der groesste Wert von , mit dem im schlimmsten Fall zu rechnen ist?
Integraluss Auf diesen Beitrag antworten »

Da der nicht so einfach beschränkt ist, wie der , ist der größste Wert des unendlich, wenn und x gegen unendlich geht.
Also: Je größer x desto größer der Funktionswert.

Und wenn , dann ist
Integraluss Auf diesen Beitrag antworten »

Habe jetzt nochmals darüber nachgedacht, aber weiß nicht, was ich noch darüber sagen kann. Das im letzten Beitrag müsste doch alles nötige sein, oder was meint ihr?
Integraluss Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Integraluss
Da der nicht so einfach beschränkt ist, wie der , ist der größste Wert des unendlich, wenn und x gegen unendlich geht.
Also: Je größer x desto größer der Funktionswert.

Und wenn , dann ist


Ist meine Analyse so in Ordnung?
Integraluss Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann von vorne:

, aber nur für x=0 und für den schlimmsten Fall, dass ist.

Also kann es nur Null werden, wenn x=0. War das die Untersuchung des Restgliedes?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Integraluss
Ok, dann von vorne:

, aber nur für x=0 und für den schlimmsten Fall, dass ist.

Also kann es nur Null werden, wenn x=0. War das die Untersuchung des Restgliedes?


Bestimmt nicht. Was soll x=0 in diesem Zusammenhang? Das ist doch der Entwicklungspunkt selbst und für den gilt da braucht man weder Taylor noch ein Restglied.

Es geht doch darum ein möglichst großes Intervall für x zu finden, für den das Restglied nach Null strebt. Nehmen wir mal an. Dann ist beschränkt durch

es bleibt noch zu betrachten. Was macht der Bruch für n gegen unendlich?

Wenn der Null werden würde, dann wäre der Limes des Restgliedes Null und die unendliche Taylorreihe würde mit dem im Intervall [0,8] übereinstimmen.

So ungefähr stell ich mir eine Betrachtung des Restgliedes vor.
Integraluss Auf diesen Beitrag antworten »

Der Bruch geht bei n -> unendlich gegen unendlich. Wenn aber x=1 wäre, dann würde der Bruch gegen Null gehen, denn 1/unendlich = 0.

Jedoch ist sinh(1)=1,175...., und 1,175../unendlich strebt nicht gegen Null, sondern ist nur ein sehr sehr kleiner Wert. Was nun? Wenn x=1 schon nicht gut geht, was dann?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Erstaunt1

Ich glaube du hast so ziemlich keine Ahnung.
Lies mal ein wenig über Grenzwerte nach.

es geht um :



Klar liegt hier der Fall vor, aber welchen "Wert" hat der ??

Es gibt 3 Möglichkeiten:

1.) Null
2.) ein c>0
3.) unendlich
Integraluss Auf diesen Beitrag antworten »

Unendlich/unendlichen hat ja keinen bestimmten Wert. Also zu dem Grenzwerten haben wir aufgeschrieben, wennbdas vorkommt, dann muss man ableiten bzw. L'Hopital anwenden.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

der "Wert" ist Null weil die Fakultät wesentlich schneller als jede Potenz wächst, sogar schneller wie eine Exponentialfunktion.

Und wie geht L'Hopital bei Fakultäten verwirrt
Integraluss Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, ok. Das war mir so nicht klar, danke.

D.h. ich kann für x -unendlich bis unendlich einsetzten und es kommt immer Null raus? Da ja die Fakultät von unendlich immer größer wie unendlich ist.

D.h. der limes des restglied geht gegen null und die Reihe konvergiert.

Richtig?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

ja.

Wir haben gezeigt ( besser: gefolgert ), dass das so für 0<x<8 stimmt. Aber natürlich auch für beliebiges x gilt.

Ist ja auch kein Wunder da der sinh() Summe 2 er E-Funktionen ist und die Reihen dazu sind überall konvergent. Idee!

noch Eines: gewöhn dir den Schulsprech mit "Fakultät mit unendlich ist größer wie unendlich ... " ab.
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