Abstand von Ebene zu Punkt P

08.11.2015, 14:55

Fender11

Abstand von Ebene zu Punkt P

Meine Frage:
Hallo, ich habe ein Problem mit einer Mathe-Aufgabe. Ich soll den Abstand von einer Ebene zu einem Punkt Berechnen Ich weiß, dass ich die Koordinatenform brauche, aber wie komme ich zu dieser Form mit meiner Ebene? Aufgabe = Bild.

Meine Ideen:
Den Abstand kann ich dann selber berechnen, ich brauche nur die Koordinatenform

08.11.2015, 15:03

Bjoern1982

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Aha, jetzt darf man also raten, was das wohl heißen soll...

Falls du das so meinst,

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} =\frac{4}{3} \end{eqnarray*}$

dann könntest du die Gleichung mit 3 multiplizieren und dann auf der linken Seite mittels Skalarprodukt für die Form ax1+bx2+cx3 sorgen.

08.11.2015, 15:30

Fender11

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Ja, genau das ich die Ebene E:
Aber so richtig habe ich das leider noch nicht verstanden.
Kannst du mir da mal den Ansatz zeigen?

08.11.2015, 15:32

Bjoern1982

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Der Ansatz in Worten steht bereits da.
Sowas wie "mit 3 multiplizieren" kann ich leider nicht einfacher formulieren.
Was genau ist an meiner Schilderung unklar ?

08.11.2015, 15:35

Fender11

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Den Bereits bestehenden Vektor mit 3 multiplizieren.
Aber wie geht es dann weiter?
Mit welchem anderen Vektor soll ich das skalarprodukt berechnen?

08.11.2015, 15:44

Bjoern1982

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Von "Vektoren mit 3 multiplizieren" habe ich nie gesprochen.
Du sollst nur die Gleichung mit 3 multiplizieren, was zur Folge hat, dass du die Brüche loswirst. Freude

Es geht um das Skalarprodukt von $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \ \text{und} \ \vec{x} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gilt.

08.11.2015, 15:48

Fender11

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Also $\begin{eqnarray*} 1\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 6 \end{pmatrix}\cdot 3\vec{x} =4 \end{eqnarray*}$
und wie stelle ich den anderen Vektor auf?

08.11.2015, 16:01

Bjoern1982

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Nein, das ist falsch, der Faktor 3 hat keinen Einfluss auf die Vektoren.

Das ist jetzt nicht böse gemeint, aber wenn du mit sowas (Äquivalenzumformungen) Probleme hast, dann würde ich mich an deiner Stelle lieber nicht direkt schon solchen Aufgaben widmen.
Das bringt dir dann ja nichts, da du bei der nächsten, vielleicht nur minimal anders gestellten Aufgabe, wieder daran scheitern wirst.

Falls du im Endeffekt mit der (Hesse-Normalform) HNF arbeiten möchtest (Abstandsformel Punkt-Ebene), dann brauchst du das ganze Spielchen übrigens gar nicht zu machen, denn die Gleichung IST bereits eine HNF für die Ebene.

08.11.2015, 16:11

Fender11

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Ich möchte ja die Koordinatenform haben, denn dann kann ich selbst den Anstand berechne .
Nur ist mir diese Gleichung noch nicht bekannt. Ich weiß nur wie man von der Parameterform auf die Koordinatenform kommt.
Kannst du mir nicht zeigen, wie man dies nun berechnet, weil ich diese Aufgabe bald abgeben muss.

Es geht ja nur um die Koordinatenform.

08.11.2015, 16:22

Bjoern1982

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Und was machst du dann, nachdem du deine Koordinatenform hast ?
Lotgerade l, Schnittpunkt von l und E usw. ?

Du kannst jede Koordinatenform ja auch in die oben stehende Form bringen.
Angenommen du hast sowas wie $\begin{eqnarray*} 2x_1+6x_2-3x_3=10 \end{eqnarray*}$ .
Dann ist das vektoriell geschrieben nichts anderes als $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} =10 \ \text{bzw.} \ \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} =10 \end{eqnarray*}$

08.11.2015, 16:30

Fender11

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Bei mir ist der abstand nun 3.
Kannst du es auch mal rechnen und mir sagen ob meine Ergebnis richtig, oder falsch ist?

08.11.2015, 16:35

Bjoern1982

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Wenn du mir verrätst, mit welchem Verfahren du das berechnet hast, dann ja. Augenzwinkern

08.11.2015, 16:46

Fender11

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$\begin{eqnarray*} E: 1\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\cdot \vec{x} =4, dann 1x+2y+2z=4 \Rightarrow |n|= \sqrt1+4+4 = \sqrt9, \begin{vmatrix} 1x+2x+2x-4 \\ \sqrt9 \\\end{vmatrix}= d \end{eqnarray*}$ und für x die Koordinaten von P eingetzt

08.11.2015, 16:52

Bjoern1982

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Also ist dir offenbar gar nicht klar, dass das eben genau die von mir erwähnte Abstandsformel bzw. HNF ist.
Zwar völlig falsch aufgeschrieben, aber man kann erahnen, wie es gemeint ist.

Daher auch meine Nachfrage und vor allem dieser Kommentar:

Zitat:

Falls du im Endeffekt mit der (Hesse-Normalform) HNF arbeiten möchtest (Abstandsformel Punkt-Ebene), dann brauchst du das ganze Spielchen übrigens gar nicht zu machen, denn die Gleichung IST bereits eine HNF für die Ebene.

Setzt zu den Punkt (1|3|3) direkt in $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} -\frac{4}{3} \end{eqnarray*}$ ein, dann kommt direkt der Abstand d=3 raus.
An deiner Vorgehensweise sieht man allein schon an dem nicht ausgerechneten $\begin{eqnarray*} \sqrt{9} \end{eqnarray*}$ , woher ja gerade die 3 im Nenner der Brüche vom Anfang kommt, dass du eigentlich nur blind einsetzt.
Das führt natürlich auch zum Ziel, kann nur (so wie hier) unnötig Arbeit machen.

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