Vektorrechnung - orthogonale Geraden

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timp Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorrechnung - orthogonale Geraden
Meine Frage:
Hi.. Bin gerade bei der Vektorrechnung und hätte eine Frage zu orthogonalen Vektoren.
Aufgabe: Gegeben ist eine Geradengleichung und ich soll eine neue Geradengleichung aufstellen, welche die gegebene Geradengleichung orthogonal schneidet.

Meine Ideen:
Idee: Stützvektor der 1. Gerade als Stützvektor der 2. Geraden wählen (dann schneiden die sich ja schonmal in diesem Punkt).

Richtungsvektoren müssen orthogonal sein. Richtungsvektor der 1. Glg.:
(7/17/2)
Ich hätte jetzt den 2. Richtungsvektor mit (x1/x2/x3) bezeichnet. Das Skalarprodukt von beiden gleich Null gesetzt. Für x1 und x2 hätte ich irgendwelche Werte festgelegt: Beispiel x1 = 2 und x2 = 0 und damit hätte ich dann ja entsprechend x3 berechnen können.
Geht das so? Es gibt ja also unendlich viele Möglichkeiten... Oder ist mein Ansatz mit der eigenständigen Wahl von x1 und x2 falsch????
Danke schonmal für die Hilfe.....
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so geht es. Freude
timp Auf diesen Beitrag antworten »

Oh... Dankeeeeeeeeeeeeee!!!!!!!!!!!!!


Also wirklich ganz egal, wie ich x1 und x2 wähle....


DANKE
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau, im Dreidimensionalen kannst du deine orthogonale Gerade ja einmal um die andere Gerade herumdrehen, was letztendlich unendlich viele, verschiedene Richtungsvektoren zur Folge hat.
Im Zweidimensionalen hingegen, ist man da nicht mehr so frei.

(Nur x1=0 und x2=0 wäre nicht so sinnvoll, denn dann...)
timp Auf diesen Beitrag antworten »

Oh... Eine Frage hätte ich da noch.
Bestimme alle Vektoren, die zu Vektor a und Vektor b orthogonal sind.
a = (1/2/3)
b = (2/0/3)

Ich hätte jetzt gleichgesetzt. "Die" neuen Vektoren als x bezeichnet ergibt sich daraus doch:

a * x = b * x (kann man gleichsetzten, da a * x = 0 Und b * x = 0)


1x1 + 2x2 + 3x3 = 2x1 + 3x3

Daraus ergibt sich dann, dass x1 =2x2 ist.

Dann kann ich wählen x1 = 4 und x2 = 2 und setzte die dann wieder in eine der Gleichungen ein
4 + 4 + 3x3 = 0 --< x3 = -8/3

Da ich alle bestimmen muss, muss ich vor dem Vektor noch einen Parameter setzen, oderß
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau, denn durch den Parameter sichert man, dass auch alle Vielfachen dieses Vektors in Frage kommen.
 
 
timp Auf diesen Beitrag antworten »

ok super... Aber wie macht man das, wenn nicht eine Variable so schon wegfällt.

Beispiel a = (2/3/-1) und b = (5/-1/-2). Wenn ich das entsprechend bearbeite, dann steht da am Ende:

-3x1 = -4x2 -x3 Wenn ich da einfach wieder x1 und x2 bestimme und entsprechend x3 berechne, klappt das bei der Probe irgendwie nicht....


DANKe nochmal
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Da solltest/könntest du vorher erstmal bei deinen Gleichungen 2x+3y-z=0 und 5x-y-2z=0 mit dem Additionsverfahren dafür sorgen, dass eine Variable eliminiert wird.
timp Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so...Anders geht es wahrscheinlich nicht, oder?
timp Auf diesen Beitrag antworten »

Es kommen immer mehr Fragen auf irgendwie....

Um zu prüfen, ob eine Ebene und eine Gerade orthogonal sind, muss ich dann nur einen Spannvektor und den Richtungsvektor der Geraden überprüfen oder beide Spannvektoren jeweils mit dem Richtungsvektor der Geraden?


DANKE
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Magst du das Additionsverfahren nicht so ? Augenzwinkern

Naja du kannst auch wieder gleichsetzen und dann z.B. nach z auflösen, was zu z=3x-4y führt und was du dann wiederum in die 1. Gleichung einsetzen und nach x auflösen kannst.

In der Praxis benutzt man übrigens meist das so genannte Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt genannt), wenn man einen Vektor bestimmen will, der zu zwei anderen Vektoren senkrecht steht.
timp Auf diesen Beitrag antworten »

Oh ok... Super, danke.....

Eine letzte Frage hätte ich noch.... Ich habe eine Ebene gegeben und den Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene. Ich soll eine Geradengleichung aufstellen, die durch den Punkt geht und zu der Ebene orthogonal ist.

Ich wähle also als Stützvektor den SP und muss also noch den Richtungsvektor bestimmen.

(x1/x2/x3) * (1/0/1) = 0

und

(x1/x2/x3) * (2/-1/5) = 0


Ich habe also wieder 2 Gleichungen und dann bekomme ich
I: 2x1 - x2 + 5x3 = 0
II: x1 + x3 = 0 --> x1 = -x3

Kann ich jetzt einfach wieder für x1 beispielsweise x1 = 1 wählen und dementsprechend ergeben sich die anderen Koordinaten?????? Kommt mir so willkürlich vor.....
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Es liegt nun mal in der Natur der Sache, dass das aus 2 Gleichungen und 3 Unbekannten bestehende, so genannte homogene LGS (auf der rechten Seite steht 0) unendlich viele Lösungen besitzt.

Man kann das mit dem sich Vorgeben von Zahlen auch sein lassen.
Dann wird die Lösungsmenge hier eben von einem Parameter abhängen.
Du machst das nun eben andersherum und gibst dir erst Werte vor und bringst am Ende dann den Parameter ins Spiel.
Wobei uns in diesem Fall ja eh nur eine (der unendlich vielen) Lösung(en) für den orthogonalen Richtungsvektor interessiert und da ist es völlig legitim, sich entsprechende Werte vorzugeben.
Auch wenn du dir das eine Mal z.B. x1=1 und das andere Mal x1=2 vorgibst und das ja zu unterschiedlichen Lösungen führt. Letztendlich wird dein Lösungsvektor immer dieselbe Richtung haben und sich nur in der Länge (Vielfaches) bzgl. der anderen Lösungsvektoren unterscheiden.
timp Auf diesen Beitrag antworten »

Tausend Millionen Dank an dich..... Jetzt versteh ich das... Danke
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Keine Ursache.

Viel Erfolg weiterhin. Freude
timp Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo....?!?

Ich hoffe, jemand sieht diese Frage noch. Ich habe gerade nochmal meine Rechnung zu der Bestimmung ALLER orthogonaler Vektoren zu zwei gegebenen Vektoren und komme jedes Mal auf ein anderes Ergebnis.

a = (1/2/3) und b = (2/0/3)

Also Skalarprodukt beider bilden -->

I: x1 + 2x2 + 3x3 = 0
II: 2x1 + 3x3 = 0.


Fahre ich mit dem Gleichsetzungsverfahren kommt dann raus:

x1+2x2+3x3 = 2x1 + 3x3
--> -x1 = 0 macht keinen Sinn...

warum kommt das dann raus? Wenn ich die 2. Glg. nach x3 auflöse und die oben einsetze etc., kommt das richtige raus. Warum nicht mit dem Gleichsetzungsverfahren? DANKE
moody_ds Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von timp
I: x1 + 2x2 + 3x3 = 0
II: 2x1 + 3x3 = 0.


Fahre ich mit dem Gleichsetzungsverfahren kommt dann raus:

x1+2x2+3x3 = 2x1 + 3x3
--> -x1 = 0 macht keinen Sinn...

Ich kann das nicht ganz nachvollziehen







verwirrt
timp Auf diesen Beitrag antworten »

Ups, die habe die 2x1 auf der rechten Seite als 2x2 gesehen und dann fällt alles weg... DANKE


Eine Frage hätte ich noch. Ich soll eine Geradengleichung durch einen Vorgegebenen Punkt aufstellen, die zu einer gegebenen Ebene orthogonal ist.

Dann wähle ich den Pkt. als Stützvektor und brauche noch einen zur Ebene orthogonalen Richtungsvektor.

Dann habe ich doch wieder zwei Glg., oder?
Als Vektoren geschrieben: (2/-1/5)*(x1/x2/x3) = 0
und (2/0/2) * (x1/x2/x3) = 0

oder?
Danke für die Hilfe
moody_ds Auf diesen Beitrag antworten »

Da brauch ich mehr Infos wenn du jetzt Zahlenwerte einsetzt. Ich weiß ja nicht woher die Werte kommen / wo die Punkte liegen. Sagt dir das Kreuzprodukt etwas?
timp Auf diesen Beitrag antworten »

Also die Vektoren, die ich dort angegeben habe, sind die Spannvektoren der Ebene. Ich will ja den Richtungsvektor bilden, der dazu orthogonal ist. Also müssen die Spannvektoren jeweils multipliziert mit dem gesuchten Richtungsvektor (x1/xx2/x3) = 0 sein. Ich habe also wieder ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und löse das wieder, oder?
moody_ds Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich dich richtig verstanden habe kannst du das so machen, aber ich wiederhole nochmal meine Frage, ob dir das Kreuzprodukt etwas sagt Augenzwinkern
timp Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das hatten wir leider noch nicht... Danke aber nochmal
moody_ds Auf diesen Beitrag antworten »

Kein Problem Augenzwinkern Wenn ihr das behandelt wirst du an diese Aufgabe zurück denken und wissen warum ich gefragt habe Augenzwinkern
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