Äquivalenzrelation und binäre Kernfunktion

08.11.2015, 18:18	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzrelation und binäre Kernfunktion Hallo zusammen, folgendes Problem stellt sich mir. Sei $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ nichtleer, $\begin{eqnarray} \mathcal T\subset \Omega\times\Omega \end{eqnarray}$ enthalte die Diagonale, also $\begin{eqnarray} (x,x)\in\mathcal T \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x\in\Omega \end{eqnarray}$ . Wir definieren $\begin{eqnarray} k(x,x'):=\mathcal X_T(x,x')=\begin{cases}1 & \text{falls } (x,x')\in \mathcal T \\<br /> 0 & \text{sonst}<br /> \end{cases} \end{eqnarray}$ Zeigen Sie: $\begin{eqnarray} k(.,.) \end{eqnarray}$ ist symmetrisch und positiv semidefinit genau dann wenn $\begin{eqnarray} \mathcal T \end{eqnarray}$ eine Äquivalenzrelation ist. Erste Ideen bringen mich nicht weiter. Vorallem die Richtung von links nach rechts macht mir Kopfzerbrechen. Die Richtung von rechts nach links ist schon wesentlich anschaulicher, da die Äquivalenzrelation zu eine symmetrischen Binär Matrix führt. Weiter komme ich hier aber auch nicht. Scheint mir zu elementar zu sein. Vielen Dank für die Hilfe.
09.11.2015, 19:49	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Eventuell gibt es doch noch jemanden, der mir hierbei helfen kann .
10.11.2015, 00:21	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Es könnte helfen, wenn du noch ein paar Informationen lieferst. Ist $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ eine endliche Menge? Teilemenge der reellen Zahlen? Wie ist postiv definit in dem Kontext erklärt? Endliche Summe? Integrale?
10.11.2015, 10:49	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo URL, die Menge $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ ist nichtleer und kann bis zu abzählbar unendlich viele Elemente enthalten (sie kann also als $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ oder eine Teilmenge davon angenommen werden) . $\begin{eqnarray} k(.,.) \end{eqnarray}$ ist positiv semidefinit genau dann wenn für alle $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \mathcal X:=\{x_i\}_{i=1}^n \subset\Omega \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \alpha^TK\alpha\geq 0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} \alpha\in\mathbb R^n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} K:=(k(x_i,x_j))_{i,j=1}^n\in\mathbb R^{n\times n} \end{eqnarray}$
10.11.2015, 18:41	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
"von links nach rechts" muss man nur noch die Transitivität von $\begin{eqnarray} \mathcal T \end{eqnarray}$ zeigen. Das geht mit einem Widerspruchsbeweis.
10.11.2015, 20:25	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo URL, hast du hier einen weiteren Tipp für mich? (Symmetrie und Reflexivität ist klar wegen Voraussetzung.) Trotzdem ein Versuch. Angenommen $\begin{eqnarray} \mathcal T \end{eqnarray}$ ist keine Äquivalenzrelation. $\begin{eqnarray} \mathcal T \end{eqnarray}$ ist nichtleer, da $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ nichtleer ist. Außerdem ist $\begin{eqnarray} \mathcal T \end{eqnarray}$ immer reflexiv, da es die Diagonale enthält. Weiter ist die Symmetrie gegeben, da dies Voraussetzung von linker Seite. D.h. nur die Transivitiät kann bei der Eigenschaft keine Äquivalenzrelation nicht erfüllt. Dann kann ich aber eine n x n Matrix erzeugen (n>2) die überall 1 en hat bis auf die Einträge (1,n) und (n,1). Diese erfüllt die Eigenschaft $\begin{eqnarray} \alpha^TK\alpha=(\alpha_1+...+\alpha_n)^2-2\alpha_1\alpha_n \end{eqnarray}$ . (Beweis mit Induktion) Dann kann ich aber $\begin{eqnarray} \alpha_1=-\alpha_2=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \alpha_n=-\alpha_{n-1}>0 \end{eqnarray}$ und der Rest der Alphas gleich 0 setzen. Dann haben wir $\begin{eqnarray} \alpha^TK\alpha=0-2\alpha_n<0 \end{eqnarray}$ .
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10.11.2015, 23:26	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Prinzip hätte ich es genauso gemacht. Wobei man sich auf eine Matrix der Form $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1&1&0\\1&1&1\\0&1&1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ zurückziehen kann, wenn man in $\begin{eqnarray} \mathcal X:=\{x_i\}_{i=1}^n \subset\Omega \end{eqnarray}$ genau die drei Elemente aufnimmt, für die die Transitivität nach Annahme nicht erfüllt ist. Die Determinante dieser Matrix ist -1

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