Algebra - Vektorraum mit Polynomen zeigen

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kiwi123 Auf diesen Beitrag antworten »
Algebra - Vektorraum mit Polynomen zeigen
Meine Frage:
Aufgabe 3.1. Wir betrachten den reellen Vektorraum P der reellen Polynome des Grades ? 2 zusammen mit der Addition von Polynomen (p+q)(x) := p(x) + q(x) und der Multiplikation mit Konstanten (cp)(x) := cp(x).

a) Zeigen Sie, dass (P,+,·) ein reeller Vektorraum ist

b) Wir setzen:
p1(x) :=1 + 2x + 3x2
p2(x) :=1 + 2x2
p3(x) :=5 + 2x + 13x2 .

Ist B = (p1, p2, p3) eine Basis von (P,+,·)?

Meine Ideen:
Habe sowas noch nie gelöst und beschäftige mich erst seit ein paar Tagen mit der Materie, also verzeiht mir Big Laugh Meine genauen Fragen und Ideen:

- p(x) = ax² + bx + c , a; b; c R

stimmt das so???

zu a):

- Muss ich jetzt hier alle Axiome einzeln zeigen???
Also z.B. Kommutativität:

p(x) + q(x) = q(x) + p(x)

- Reicht das, wenn ich es so schreibe zB?? Oder muss ich für jedes Axiom eine richtige Beweisführung machen?
Oder geht es vielleicht einfacher? :/ Vielleicht ein allgemeinerer Beweis, ohne die einzelnen Axiome???

zu b):
- Hier würde ich prüfen, ob die 3 Vektoren zueinander linear unabhängig sind richtig?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

(a) Ja, bitte alle Axiome beweisen, nicht nur hinschreiben.
Beispiel :




(b) Du musst beweisen, dass der Vektorraum die Dimension 3 hat und die 3 Vektoren linear unabhängig sind. (Es heißt nicht "zueinander linear unabhängig").
kiwi123 Auf diesen Beitrag antworten »

danke!
Weiterhin habe ich gezeigt:

Axiome der Addition:

1. Kommutativität "-" (Bereits in Antwort)

2. Assoziativität:

(a+b)+ c = a+(b+c) in P

Induktionsanfang mit Induktion durch b = 0:

(a+0)+c = a+c = a+(0+c)

Definitionen:
n+0 := n ;
n+1 := n' ;
n+k' := (n+k)'

Induktionsannahme:

(a+b)+c = a+(b+c)
=> (a+b')+c = a+(b'+c)

Induktionsschluss:
(a+b')+c = (a'+b)+c
=a'+(c+b)
a+(b+c)'
a+(b+c')
a+(b'+c)
=> (a+b)+c = a+(b+c)

3. Neutrales Element:

Annahme: Es gäbe 2 neutr. Ele. von P: e' und e '':
Dann gilt:
e' = e' + e'' = e''
=> in P mit x+0 = x

4. Inverses Element:
Annahme: es gäbe zwei inverse Ele. in P: a' und a'':
Dann gilt:
a' = a' + e
= a'+(a + a'')
= a' + a) + a''
= e + a''
= a''
=> in P: x+(-x)=0

Axiome der Multiplikation:

1. Kommutativität:

genauso wie zuvor bei der Addition nur hier mit der Multiplikation????


2. Assoziativgesetz:

(a*b)* c = a*(b*c) in P

Induktionsanfang mit Induktion durch c = 0:

(a*b)*0 = a*c = a*(b*0)

Induktionsannahme:

(a*b)*k = a*(b*k)

zu zeigen:
(a*b)*k' = a*(b*k')

(a*b)*k' = (a*b)*k + (a*b) = a*(b*k) + (a*b)

x*(y*k+y)
x*(y*k')

3. Multiplikatives Inverses:

a*a^-1 = e*(a*a^-1) = ((a^-1)^-1)*(a*a^-1)
= (a^-1)^-1 *((a^-1*a)*a^-1)
= (a^-1)^-1*a^-1
= e

Leider weiß ich nicht wie ich das Distributivgesetz bewiesen werden kann :/


und ob meine Beweise richtig geführt sind???
freue mich auf jede Antwort!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ehrlich gesagt: das Ganze ist ziemlich in die Hose gegangen. Die Assoziativität mit vollständiger Induktion zu zeigen, ist auch großer Humbug. Du mußt schon im Hinterkopf haben, daß du es mit Polynomen zu tun hast. Was soll dann für ein Polynom n der Ausdruck n+1 bedeuten? Beim neutralen und inversen Element hast du zwar gezeigt, daß diese eindeutig sind, wenn es denn welche gäbe. Aber das besagt leider noch nicht, daß diese überhaupt existieren.

Schau dir nochmal genau an, wie Elvis die Kommutativität gezeigt hat, und übertrage das auf den Beweis der Assoziativität.
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