Roulette

08.11.2015, 20:54

MatheEinhorn

Roulette

Meine Frage:
Hallo,
wir haben folgende aufgabe bekommen:
Arthur geht in das Casino mit dem Ziel durch die folgende "sicheren" Roulette Wettstrategie Gewinn zu machen. Er beginnt mit einer Wette von 1 Euro auf rot. Falls er gewinnt, wettet er wieder 1 Euro auf rot. Falls er verliert, wettet er zwei Euro auf rot. Und so weiter: er spielt weiter rot und verdoppelt immer seine Wette, bis
rot vorkommt. Danach kehrt er wieder auf eine Wette von 1 Euro zurück. Wie viel Geld sollte Arthur haben um mindestens eine 50%-ige Chance auf einen Gewinn von
10.000 Euro zu haben?

Meine Ideen:
Ich habe bisher keinen richtigen Ansatz gefunden. Mir ist bishe nur klar:
die Wahrscheinlichkeit das die Kugel auf rot fällt ist 18/37
und
wenn man nach einer Serie von Verdoppelung gewonnen hat, hat man insgesamt nur den ersten Einsatz, also 1? Gewinn gemacht.

Für einen Ansatz zur Aufgabe wäre ich echt dankbar.

09.11.2015, 14:42

Huggy

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RE: Roulette
Für Schulmathematik erscheint mir die Aufgabe etwas haarig.

Eine Runde sei eine Serie von Spielen, bis das erste mal rot fällt. Der Spieler verliert die Runde, wenn ihm das Geld ausgeht, bevor rot kommt. Sonst gewinnt er die Runde. Es sei $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ die Gewinnwahrscheinlichkeit für eine Runde und $\begin{eqnarray*} s = 1- r \end{eqnarray*}$ die Verlustwahrscheinlichkeit. Pro gewonnener Runde gewinnt der Spieler 1 Euro. Um 10000 Euro zu gewinnen, muss er 10000 Runden hintereinander gewinnen. Damit die Wahrscheinlichkeit dafür mindestens 50 % ist, muss also gelten:

$\begin{eqnarray*} r^{10000} \geq 0.5 \end{eqnarray*}$

Daraus ergibt sich eine obere Schranke $\begin{eqnarray*} s_O \end{eqnarray*}$ für die Verlustwahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ .

Wenn der Spieler vor der Runde ein Kapital $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ hat mit

$\begin{eqnarray*} 2^n-1\leq K < 2^{n+1}-1 \end{eqnarray*}$

kann er in der Runde maximal $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mal setzen, bevor ihm das Geld ausgeht, um nach der Verdoppelungsstrategie noch mal setzen zu können. Sei $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ die Verlustwahrscheinlichkeit für ein Spiel.

$\begin{eqnarray*} q=\frac {19}{38} \end{eqnarray*}$

Es muss daher gelten:

$\begin{eqnarray*} q^n \leq s_O \end{eqnarray*}$

Daraus kann man die untere Schranke für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ bestimmen und daraus das benötigte Kapital vor der Runde.

Jetzt ergibt sich eine Komplikation. Wenn er dieses Kapital von Anfang an hat, ist seine Gewinnwahrscheinlichkeit sicher größer als 50 %. Es kann aber auch reichen, wenn er zu Anfang ein paar Euro weniger hat. Sagen wir, er hat $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ Euro weniger. Dann gewinnt er die ersten $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ Runden mit einer etwas kleineren Wahrscheinlichkeit als oben angegeben, die restlichen $\begin{eqnarray*} 10000 - m \end{eqnarray*}$ mit der obigen Gewinnwahrscheinlichkeit. $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ ist so zu bestimmen, dass das Produkt noch immer $\begin{eqnarray*} \geq 0.5 \end{eqnarray*}$ ist.

09.11.2015, 16:56

MatheEinhorn

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RE: Roulette
Danke für die Antwort.
Zunächst mal habe ich mich wohl bei der Kategorie vertippt. Das ist eine Aufgabe aus meinem Studium.

Also ich glaube ich habe das verstanden.
Ich habe für r>= 0.99993 => so=0,00007
Für n habe ich dann 15 raus und somit gilt 32767 <= K < 65535

Ist das soweit richtig?

09.11.2015, 19:42

Huggy

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RE: Roulette
Habe die Zahlen mal eingetippt und kann $\begin{eqnarray*} n = 15 \end{eqnarray*}$ bestätigen. Wie weit man das benötigte Anfangskapital unter $\begin{eqnarray*} K = 32767 \end{eqnarray*}$ absenken kann, lässt sich, wenn ich das richtig sehe, nur numerisch bestimmen.

09.11.2015, 22:52

HAL 9000

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Es geht durchaus exakt: $\begin{align*} m \end{align*}$ Runden werden getätigt, wo man in maximal 14 Würfen gewinnen muss, sowie $\begin{align*} (10000-m) \end{align*}$ Runden mit, wo man in maximal 15 Würfen gewinnen muss, und es muss dann für $\begin{align*} p=\frac{19}{37} \end{align*}$ die Ungleichung

$\begin{align*} \left( 1-p^{14}\right)^m\cdot \left( 1-p^{15}\right)^{10000-m} \geq \frac{1}{2} \end{align*}$

gelten. Das lässt sich nach $\begin{align*} m \end{align*}$ umstellen:

$\begin{align*} \left( \frac{1-p^{15}}{1-p^{14}}\right)^m \leq 2\left( 1-p^{15}\right)^{10000} \end{align*}$

$\begin{align*} m \leq \frac{\ln(2)+10000\ln\left( 1-p^{15}\right)}{\ln\left( 1-p^{15}\right)-\ln\left( 1-p^{14}\right)} \approx 5514.3 \end{align*}$

Also ist das minimal mögliche Anfangskapital $\begin{align*} K_0 = 2^{15}-1-5514 = 27253 \end{align*}$ .

10.11.2015, 08:26

Huggy

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Zitat:

Original von HAL 9000
Es geht durchaus exakt:

Danke für den Hinweis.
Das war mir abends im Bett auch noch aufgegangen.

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