Vollständige Induktion 2^n>=n^2 (geht das so?) |
| 09.11.2015, 18:25 | blizzard | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Vollständige Induktion 2^n>=n^2 (geht das so?) Hallo zusammen, Die Aufgabe lautet wie folgt: man soll durch vollständige induktion beweisen, dass 2^n >= n^2 für n>= 4 ist. Als Anhang findet ihr 2 Möglichkeiten für den induktionsschritt (den Anfang hab ich jetzt einfach mal weggelassen) Meine Frage: geht das so oder ist es nicht erlaubt - wie in 1) nochmal eine induktion in der induktion zu machen? - wie in 2) einfach die Ungleichung lösen? Und wenn ja, warum nicht? Besten Dank im Voraus 
Meine Ideen: siehe Anhang |
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| 09.11.2015, 20:35 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich würde die weniger aufwändige zweite Variante bevorzugen. Allerdings finde ich deine Verwendung von Äquivalenz- und Implikationspfeilen im dortigen Beweisverlauf nicht in Ordnung, auch wenn du es letzten Endes vermutlich richtig meinst. Im Kern muss es dort heißen: Die Induktionsbehauptung wird durch die Ungleichungskette bewiesen. Dazu muss aber die dort benutzte Ungleichung (U) noch für alle bewiesen werden: Und letztere quadratische Ungleichung muss man nicht auflösen, es reicht die Gültigkeit von für alle . |
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| 10.11.2015, 10:21 | blizzard | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke für deine Antwort. Eine Frage hätte ich aber noch: Wenn ich die Ungleichung aber trotzdem löse und dann die geschriebenen Werte für n erhalte heißt es ja bei n1, dass n>=sqrt(2)+1, also zB n=3 sein kein. Oder n<=-sqrt(2)+1 also zB n=-4. Ist dies aber nicht ein Widerspruch, da - die Behauptung mit diesen Werten zB nicht stimmt? - die Behauptung eh erst ab n=4 gilt? Das verwirrt mich gerade ein bisschen |
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