Ungleichung Beweisen, Ansatz fehlt

10.11.2015, 15:11

s_punkt

Ungleichung Beweisen, Ansatz fehlt

Servus

Ich muss folgende Ungleichung beweisen:
$\begin{eqnarray*} a,b>0 : a\cdot b=\frac{1}{4}(a+b)^{2} \end{eqnarray*}$ .
Gleichheit tritt nur für a=b ein.
Wie Gleichheit würde ich einfach so zeigen:
$\begin{eqnarray*} a^{2}=\frac{1}{4}(2a)^{2} \Rightarrow a^{2}=\frac{4a^{2}}{4} \Rightarrow a^{2}=a^{2} \qed \end{eqnarray*}$

Aber wie zeige ich das für a ungleich b, da fehlt mir der Ansatz?

10.11.2015, 15:33

RavenOnJ

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RE: Ungleichung Beweisen, Ansatz fehlt

Zitat:

Original von s_punkt
Ich muss folgende Ungleichung beweisen:
$\begin{eqnarray*} a,b>0 : a\cdot b=\frac{1}{4}(a+b)^{2} \end{eqnarray*}$

Ich sehe keine Ungleichung.

10.11.2015, 15:41

Sündepfuhl

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Er meint, dass die Gleichung gilt genau dann, wenn a = b.

10.11.2015, 15:48

s_punkt

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Ich Dussel Hammer

Es muss heißen:
$\begin{eqnarray*} a,b>0 : a\cdot b \leq \frac{1}{4}(a+b)^{2} \end{eqnarray*}$
Die Gleichheit hab ich oben ja bewiesen und wie sieht das nun aus, wenn a ungleich b ist?

10.11.2015, 15:58

RavenOnJ

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Dann bring mal ne 0 auf die linke Seite und wende einen der binomischen Sätze an.

10.11.2015, 16:52

s_punkt

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Dann wäre das ja:
$\begin{eqnarray*} 0\leq \frac{\frac{(a+b)^{2}}{4}}{a\cdot b} \end{eqnarray*}$
Das Relationszeichen ändert sich ja nicht, weil a und b größer 0 und dann würde ich das umformen zu:
$\begin{eqnarray*} 0\leq \frac{a\cdot (a+b)^{2}\cdot b}{4} \Rightarrow 0\leq\frac{a^{3}\cdot b}{4}+\frac{a^{2}b^{2}}{2}+\frac{ab^{3}}{4} \end{eqnarray*}$
Das die Ungleichung erfüllt ist sieht man jetzt, weil jeder Term durch $\begin{eqnarray*} a,b>0 \end{eqnarray*}$ positiv ist, ist die rechte Seite größer 0. Aber wie formuliere ich das nun um, dass das als Beweis durchgeht?

10.11.2015, 23:21

RavenOnJ

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Zitat:

Original von s_punkt
Dann wäre das ja:
$\begin{eqnarray*} 0\leq \frac{\frac{(a+b)^{2}}{4}}{a\cdot b} \end{eqnarray*}$
Das Relationszeichen ändert sich ja nicht, weil a und b größer 0 und dann würde ich das umformen zu:
$\begin{eqnarray*} 0\leq \frac{a\cdot (a+b)^{2}\cdot b}{4} \Rightarrow 0\leq\frac{a^{3}\cdot b}{4}+\frac{a^{2}b^{2}}{2}+\frac{ab^{3}}{4} \end{eqnarray*}$
Das die Ungleichung erfüllt ist sieht man jetzt, weil jeder Term durch $\begin{eqnarray*} a,b>0 \end{eqnarray*}$ positiv ist, ist die rechte Seite größer 0. Aber wie formuliere ich das nun um, dass das als Beweis durchgeht?

Das ist jetzt nicht ernst gemeint, oder? Hab ich irgendwas von Division geschrieben?

11.11.2015, 07:49

s_punkt

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Meintest du das nicht so? verwirrt

Dann müsste es ja so aussehen oder?
$\begin{eqnarray*} a\cdot b \leq \frac{1}{4}(a+b)^{2} | -(a\cdot b) \Rightarrow 0\leq \frac{1}{4}(a+b)^{2}-(a\cdot b) \Rightarrow 0\leq \frac{a^{2}}{4}-\frac{a\cdot b}{2}+\frac{b^{2}}{4} \end{eqnarray*}$

11.11.2015, 10:47

RavenOnJ

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Zitat:

Original von s_punkt
Meintest du das nicht so? verwirrt

Nein!

Zitat:

Ja! Und wie geht's weiter? Vielleicht solltest du mal den überflüssigen Faktor aus der Gleichung entfernen, dann siehst du es wohl eher.

11.11.2015, 14:45

s_punkt

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Ich würde es dann mit der zweiten binomischen Formel zusammenfassen
$\begin{eqnarray*} 0\leq\frac{(a-b)^{2}}{4} \end{eqnarray*}$
Da das Quadrat im Zähler immer größer Null ist, kann man die Ungleichung doch so als bewiesen ansehen oder? Nun müsste ich das ganze ja noch mal rückwärts gehen und wäre fertig oder irre ich mich?

11.11.2015, 15:07

magic_hero

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RE: Ungleichung Beweisen, Ansatz fehlt
Eine kleine Anmerkung:

Zitat:

Original von s_punkt
Gleichheit tritt nur für a=b ein.
Wie Gleichheit würde ich einfach so zeigen:
$\begin{eqnarray*} a^{2}=\frac{1}{4}(2a)^{2} \Rightarrow a^{2}=\frac{4a^{2}}{4} \Rightarrow a^{2}=a^{2} \qed \end{eqnarray*}$ ?

Du zeigst hier nur, dass im Fall a=b auch Gleichheit gilt. Oben schreibst du, dass "Gleichheit tritt nur für a=b ein." gezeigt werden solle - entscheidend ist das Wörtchen "nur". Du müsstest also zusätzlich noch zeigen, dass im Fall $\begin{eqnarray*} a \neq b \end{eqnarray*}$ keine Gleichheit vorliegt, sondern die "echte" Ungleichung $\begin{eqnarray*} ab < \frac{1}{4}(a+b)^2 \end{eqnarray*}$ gilt.

11.11.2015, 16:24

RavenOnJ

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RE: Ungleichung Beweisen, Ansatz fehlt

Zitat:

Original von magic_hero
Du müsstest also zusätzlich noch zeigen, dass im Fall $\begin{eqnarray*} a \neq b \end{eqnarray*}$ keine Gleichheit vorliegt, sondern die "echte" Ungleichung $\begin{eqnarray*} ab < \frac{1}{4}(a+b)^2 \end{eqnarray*}$ gilt.

Na ja, man muss nicht extra zeigen $\begin{align*} a\not= b\Rightarrow (a-b)^2>0 \end{align*}$ , denn das ist ja wohl offensichtlich. $\begin{align*} a-b \not=0 \end{align*}$ ist ja kein Nullteiler. Der Fragesteller bewegt sich im Rahmen einer solchen Frage mit Sicherheit im Bereich der reellen Zahlen, die als Körper keine Nullteiler enthalten.

11.11.2015, 18:24

magic_hero

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RE: Ungleichung Beweisen, Ansatz fehlt

Zitat:

Original von RavenOnJ
verwirrt

Na ja, man muss nicht extra zeigen $\begin{align*} a\not= b\Rightarrow (a-b)^2>0 \end{align*}$ , denn das ist ja wohl offensichtlich.

Klar ist das offensichtlich. Im ersten Semester, auf einem Übungsblatt oder bei einer Klausur würde ich aber schon einen Kommentar dazu erwarten. Vor allem, wenn geschrieben wurde, dass die Gleichheit ja oben bewiesen worden sei - was hier so klingt, als wäre die dastehende Aussage bewiesen worden.

11.11.2015, 19:11

RavenOnJ

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RE: Ungleichung Beweisen, Ansatz fehlt

Zitat:

Original von magic_hero
Vor allem, wenn geschrieben wurde, dass die Gleichheit ja oben bewiesen worden sei - was hier so klingt, als wäre die dastehende Aussage bewiesen worden.

Was man halt so "beweisen" nennt. Ich schätze, der "Beweis" wurde entsprechend dem von mir genannten Statement durchgeführt, was mMn auch vollkommen ausreichend ist.

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