Bedeutet g(f(x))=f(x) => g(x)=x ?

10.11.2015, 22:00

Smoenybfan

Bedeutet g(f(x))=f(x) => g(x)=x ?

Hallo zusammen.

Ich soll folgendes zeigen:

$\begin{eqnarray*} f,g: V \rightarrow V \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(f(x))=f(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(g(x))=g(x) \Leftarrow\Rightarrow Bild(f)=Bild(g) \end{eqnarray*}$

Stimmt es, dass dann gilt g(x)=x ? Folglich wäre dann ja auch f(g(x))=g(x) und somit logischerweise auch Bild(f)=Bild(g).

Ich wäre ausserdem noch froh um einen Ansatz für den Rückweg, also aus Bild(f)=Bild(g) folgt...
Meine Idee von wegen bei gleichem Bild auf den gleichen Mengen seien die Funktionen gleich stimmt ja eher nicht.

Danke schonmal

10.11.2015, 22:48

HAL 9000

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Was soll das mit dem $\begin{align*} x \end{align*}$ bedeuten:

$\begin{align*} \exists x\in V \end{align*}$ oder $\begin{align*} \forall x\in V \end{align*}$ , oder wie oder was... verwirrt

Zitat:

Original von Smoenybfan
Ich wäre ausserdem noch froh um einen Ansatz für den Rückweg, also aus Bild(f)=Bild(g) folgt...

Die ist ganz sicher falsch.

10.11.2015, 23:08

RavenOnJ

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RE: Bedeutet g(f(x))=f(x) => g(x)=x ?
Ich weiß ja nicht, wie ihr $\begin{align*} \operatorname{img}(f) \end{align*}$ definiert habt. Für mich ist das der gesamte Bildbereich von $\begin{align*} f \end{align*}$ und die Behauptung wäre dann falsch. Gegenbeispiel: $\begin{align*} f:\mathbb R\to\mathbb R,x\mapsto x^2,g:\mathbb R\to\mathbb R,x\mapsto x^4,\operatorname{img}(f)=\operatorname{img}(g) \end{align*}$ . Von daher verstehe ich die Aufgabe nicht. Oder du hast wichtige Informationen nicht genannt. Beispielsweise, dass $\begin{align*} f,g \end{align*}$ Vektorraumhomomorphismen sein sollen und nicht irgendwelche Abbildungen.

Ich vermute eher, dass folgendes gemeint ist:
Seien $\begin{align*} f,g:V\to V \end{align*}$ Vektorraumhomomorphismen. Man zeige:

$\begin{align*} f\circ g = g\land g\circ f = f\Leftrightarrow g=f \end{align*}$

10.11.2015, 23:10

Smoenybfan

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Hi Hal

Sorry, ist wohl als $\begin{eqnarray*} \forall x \in V \end{eqnarray*}$ gedacht.

Die Aufgabe ist allgemein formuliert als:

$\begin{eqnarray*} g\circ f=f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f\circ g=g \Leftarrow\Rightarrow Bild(f)=Bild(g) \end{eqnarray*}$

wobei f,g Projektionen des endlich-dimensionalen Vektorraumes V sind.

10.11.2015, 23:17

RavenOnJ

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Wie ich's mir dachte. Wende mal auf die erste Gleichung $\begin{align*} f \end{align*}$ und auf die zweite Gleichung $\begin{align*} g \end{align*}$ an, jeweils von links.

10.11.2015, 23:37

Smoenybfan

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Ok, danke. Sehe ich es dann richtig, dass $\begin{eqnarray*} g(x) \circ f(x) =x \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass g die Umkehrabbildung von f ist (und umgekehrt), f und g somit bijektiv sind und da f,g ja Projektionen von V sind auch das gleiche Bild haben müssen?

Wenn alle Elemente von V bijektiv auf V abgebildet werden, sollte es sich doch bei der Umkehrfunktion genauso verhalten, also wäre das Bild(f)=Bild(g) =allen Elementen aus V, oder?

10.11.2015, 23:50

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Smoenybfan
Sehe ich es dann richtig, dass $\begin{eqnarray*} g(x) \circ f(x) =x \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass g die Umkehrabbildung von f ist (und umgekehrt), f und g somit bijektiv sind und da f,g ja Projektionen von V sind auch das gleiche Bild haben müssen?

Was soll denn $\begin{align*} g(x) \circ f(x) =x \end{align*}$ sein? Der Operator $\begin{align*} \circ \end{align*}$ ist der Operator für die Verkettung von Abbildungen. Und woraus schlussfolgerst du, dass $\begin{align*} f \circ g=\operatorname{id} \end{align*}$ ?

11.11.2015, 00:05

Smoenybfan

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Also wenn ich die erste Gleichung auf die zweite anwende, von links her erhalte ich doch:

$\begin{eqnarray*} g \circ f =f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f \circ g = g \Rightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (g \circ f )\circ g = g \end{eqnarray*}$

Also g(f(g(x))) = g(x)
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ f(g(x))=x oder sehe ich das falsch?

11.11.2015, 01:22

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Smoenybfan

Also g(f(g(x))) = g(x)
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ f(g(x))=x oder sehe ich das falsch?

Ja, das siehst du falsch. Egal ob eine lineare oder eine nicht-lineare Abbildung betrachtet wird. Die Schlussfolgerung wäre nur dann richtig, wenn die Abbildung $\begin{align*} g \end{align*}$ injektiv wäre.

Du kannst allerdings schlussfolgern:
$\begin{align*} g\circ g = g\circ f\circ g = f\circ g =g\Rightarrow \forall x\in\operatorname{im}(g):g(x)=f(x) \end{align*}$

und entsprechend für alle $\begin{align*} x\in\operatorname{im}(f) \end{align*}$ .

16.11.2015, 18:07

Smoenybfan

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Etwas spät meine Antwort, aber danke, habs doch noch kapiert smile

Kann ich das Thema als gelöst abhacken oder so? Bin ja noch neu und finde nichts dazu Augenzwinkern

16.11.2015, 20:12

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Smoenybfan
Kann ich das Thema als gelöst abhacken oder so? Bin ja noch neu und finde nichts dazu Augenzwinkern

Nee, das geht hier nicht. Bringt ehrlich gesagt auch gar nichts, wenn man das so markiert, denn es geht nicht darum, hier eine Lösung hinzuschreiben. Es ght nur um Hilfe, damit du es lösen kannst. Ein "Danke" ist dann natürlich immer angebracht, so oder so. Ich fasse deinen letzten Post mal dahingehend auf Augenzwinkern

16.11.2015, 20:46

Smoenybfan

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Habs mehr so gemeint, dass ich markieren kann, dass das Thema für mich abgeschlossen ist. Habe ich so schon in anderen Foren gesehen. Die Lösung will ich schon nicht direkt, will ja selber auch noch was lernen Augenzwinkern

Und ja, mein letzter Post war als Dankeschön an dich gerichtet smile

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