Extremwertberechnung (flächengrößtes Dreieck) |
| 11.11.2015, 19:49 | Phü1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Extremwertberechnung (flächengrößtes Dreieck) Hallo, bald steht die erste Mathe Arbeit in K1 an, und ich bin schon mächtig am Büffeln, weil ich mit einer schlechten Note in Mathe nicht klar komme 
Gut, jetzt zum Thema: 1) Ich soll eine Stelle a nachweisen, an der f und g zueinander senkrechte Tangenten besitzen. 2) Es gelten immer noch die zwei Gleichungen und deren Graphen: Für jeden Wert von k mit 0 < k < 6 bilden die Punkte F(k/f(k)) und G(k/g(k)) mit dem Koordinatenursprung ein Dreieck. Ich soll den Wert für k so berechnen, dass der Flächeninhalt des Dreiecks möglichst groß ist. Ehrlich gesagt wusste ich da nicht mehr weiter, ich nehme an man braucht den Flächeninhalt? Meine Ideen: Meine Lösung: f(x) = - 1/16 x³ + 3x g(x) = 1/8x² Was wird gebraucht? m1 * m2 = -1 d.h. : (-3/16 x²+3) * 1/4x = -1 umgeformt: -3/64x³+3/4x = -1 ---> x³-16x+1 = 0 Gut soweit hoffe ich stimmt alles. Habe jetzt von der Gleichung drei Nullstellen berechnet mit dem GTR. Stimmt mein Gedankengang in etwa? |
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| 11.11.2015, 20:56 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das +1 am Ende kann nicht stimmen, aber ansonsten ist der Gedankengang genau richtig. 
Falls es reicht, nur nachzuweisen, dass eine solche Stelle x=a existiert, müsste man die Gleichung gar nicht unbedingt lösen, sondern nur argumentieren, warum Graphen zu Funktionen 3. Grades in jedem Fall eine Nullstelle haben müssen.
Ja, denn das ist eine so genannte Extremwertaufgabe, wo das, was maximal oder minimal werden soll, schon mal die Hauptbedingung darstellt. Hast du dir mal eine Skizze zum Sachverhalt gemacht ? Entscheidend ist, was man hier als Grundseite g und Höhe h nimmt. Nimm mal den Abstand der Punkte F und G als Grundseite g und überlege dir, warum es damit dann sehr einfach ist, einen Term für die Höhe h des Dreiecks zu finden. |
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| 11.11.2015, 22:17 | Phü1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay den Abstand als Grundseite. Würde das so machen: √ 
k-k)²+(g(k)-f(k) Anders wüsste ich gerade nicht den Abstand rauszubekommen
Höhe...hm k kann es ja nicht sein, oder doch?
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| 11.11.2015, 22:22 | Phü1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay irgendwie ist das was schief gelaufen mit dem Wurzelzeichen. Mein Gedanke war: Wurzel (x2-x1)² + (y2-y1)² für den Abstand. Sorry mein brain ist gerade bisschen off nachdem ich heute paar Stunden gepaukt habe 
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| 11.11.2015, 22:28 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kann ich jetzt nicht alles so wirklich lesen, aber das Richtige steht da zumindest in Bruchstücken. In der Tat entspricht die Grundseite der Differenz der y-Werte. Da der Graph zu f(x) in [0;6] oberhalb liegt, sollte man besser mit g=f(k)-g(k) arbeiten, damit man eine positive Zahl als Länge erhält. Die Höhe ist dann einfach k, also h=k.
Die Terme für g und h sind somit deine Nebenbedingungen, welche du nun in die Hauptbedingung A=1/2*g*h einsetzen musst. Damit entsteht dann deine nur noch von k abhängige Zielfunktion A(k), für welche du dann das Maximum finden musst. |
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| 11.11.2015, 23:29 | Phü1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke ! Also dann einsetzen: A(k) = 1/2 (f(k)-g(k)) * k ausmultipliziert--> A(k) = 1/2 f(k) - 1/2 g(k) + k*f(k) - k*g(k) So das wars dann auch, weiter komme ich nicht
Ich denke davon die Ableitung 0 setzen, und die zweite Ableitung prüfen ob ungleich null. |
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| 11.11.2015, 23:43 | Phü1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Pardon, hab's nicht so mit dem Ausklammern
A(k) = 1/2k*f(k) - 1/2k*g(k) Wenn ich mich nicht irre. |
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| 11.11.2015, 23:44 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Deine Termumformungen stimmen nicht so ganz. Mach vorher aus 1/2 und k erstmal k/2, vielleicht klappt es dann besser. Offenbar ist dir ebenso nicht klar, dass g(k) doch nichts anderes ist als 1/8k² und f(k) entsprechend ... Der Rest ist wie gesagt eine ganz normale Hochpunktbestimmung. |
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| 12.11.2015, 00:36 | Phü1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Achso, klingt logisch, ich bin immer sehr verwirrt wenn ich keine Zahlen vorgelegt bekomme, dann grübel ich stundenlang obwohl es auf der Hand sitzt. A(k)= k/2 (-1/16k³+3k-1/8k²) A‘(k)= 1/2 (-3/16k²+3-1/4k) Die Klammer schreit förmlich nach der pq-Formel
-3/16k²-1/4k+3 --> k² + 4/3k - 16 , nur leider lässt sich die Wurzel nicht so schön radizieren wie erhofft.. |
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| 12.11.2015, 00:51 | Phü1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
liegt* statt sitzt.. 
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| 12.11.2015, 09:22 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Man darf den Faktor k/2 nicht einfach ableiten und dann dazuschreiben. Entweder greift hier die Produktregel (falls schon behandelt) oder - noch einfacher - man multipliziert das k mit in die Klammer, wodurch dann entsteht. Von mir aus kannst du die Klammer auch noch ganz auflösen, ansonsten musst du nämlich noch die Faktorregel beachten beim Ableiten. |
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| 12.11.2015, 11:47 | Phü1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Herje, warum multipliziert man nur k, und nicht gleich 1/2k mit der Klammer? Oder leitet man nur die Klammer ab, und dann multipliziert man mit 1/2k? |
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| 12.11.2015, 11:53 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Entweder den konstanten Faktor 1/2 vor der Klammer stehen lassen und beim Ableiten einfach mitschleppen (Faktorregel). Oder eben die Klammer komplett auflösen und dann ableiten. Die beiden Optionen hast du. |
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| 12.11.2015, 12:09 | Phü1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich glaube oben heißt es doch A(k)=1/2(-1/16k^4 ... oder? |
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| 12.11.2015, 21:21 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja. Jetzt sag mir aber bitte nicht, dass du wegen meinem Abschreibfehler die ganze Zeit gewartet und nicht weiter gerechnet hast.
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| 12.11.2015, 22:19 | Phü1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Och man es scheitert immer an dieser Wurzel bei der pq-Formel. Wir haben nach dem Ausmultiplizieren: -1/32k^4 + 3/2k^2 - 1/16k^3 Diese dann abgeleitet: -1/8k^3 +3k - 3/16k^2 K ausgeglammert: k*(-1/8k^2+3-3/16k) eine Nullstelle somit schon mal 0. ------> -1/8k^2 - 3/16k + 3 dann p-q Formel mit: k² + 3/2k - 24 = 0
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| 12.11.2015, 22:34 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Soweit sollte es stimmen. Sonderlich schöne Ergebnisse kommen wohl nicht raus. Unter der Wurzel bei der pq-Formel sollte 9/16+24 stehen. |
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| 12.11.2015, 22:58 | Phü1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann habe ich's so. Das Maximum vom Graphen von A ist im GTR (-5,7/27,3). |
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| 12.11.2015, 23:00 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist aber nur einer der Hochpunkte und da k ja zwischen 0 und 6 liegen soll, scheidet k=-5,7 schon mal aus. 
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| 12.11.2015, 23:05 | Phü1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aber warum bekomme ich dann bei der Wurzel als k1 rund 5,75 raus?
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| 12.11.2015, 23:08 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Keine Ahnung, beim Eingeben in den Taschenrechner kann man schlecht helfen. Rauskommen sollte gerundet k~4,2. |
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| 12.11.2015, 23:16 | Phü1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Uff hab den Fehler, hab das Minus vor p vergessen, somit komme ich auf rund 4,2 in meiner Rechnung
Danke Meister Björn 
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| 12.11.2015, 23:31 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kein Problem, dann zum Abschluss noch eine Skizze zur Veranschaulichung. Viel Erfolg weiterhin. 
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| 12.11.2015, 23:36 | Phü1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
So sieht meine auch ungefähr aus
Danke, ich melde mich bei weiteren Fragen 
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