Beschränktheit (Beweis)

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Math_Love15 Auf diesen Beitrag antworten »
Beschränktheit (Beweis)
Meine Frage:
Hallo alle zusammen ich habe hier eine sehr Komplizierte Menge und ich soll gucken ob die Menge Beschränkt ist und ein Supremum, Infimum ,Maximum und Minumum hat ich soll noch gucken ob die Menge Kompakt ist und die häufungspunkte angeben also ehrlich gesagt weiß ich nicht wie ich das alles machen soll aber ich würde sehr sehr gerne die Aufgabe verstehen und lösen wenn ihr mir natürlich helfen könntet es würde mich sehr freuen. Die Aufgabe: (siehe Bild)

Meine Ideen:
Also ich würde erstmal versuchen die Menge zu verstehen und mir klar machen wie die verläuft bzw vereinfachen. Dann würde ich Epsilontik machen aber ich weiß nicht wie das geht ..
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beschränktheit (Beweis)
Zitat:
Original von Math_Love15
Also ich würde erstmal versuchen die Menge zu verstehen und mir klar machen wie die verläuft bzw vereinfachen.

Gute Idee. Fang mal mit dem ersten Teil an: .
Welche Zahlen sind in dieser Menge enthalten?

Übrigens: Was ist ?
Math_Love15 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beschränktheit (Beweis)
Hallo danke für die Antwort.
Also m6=6
In der menge sind alle zahlen enthalten außer die Natürlichen also R/N
Stimmt das ?
Weil wenn ich 2 einsetze wäre 2^2 =4 und wegen der - wird das zu einer -4.
Und wenn ich jetzt -2 einsetzen würde würde wieder 4 raus kommen also wieder -4
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Argumentation kann ich nicht nachvollziehen.

Es ist z.B. , also . Deswegen kann die 2 nicht in der Menge enthalten sein.
stimmt auch nicht; z.B. ist , also .

In der Menge sind alle reellen Zahlen enthalten, die die Gleichung erfüllen. Du musst also eigentlich nur die quadratische Gleichung lösen.
Math_Love15 Auf diesen Beitrag antworten »

Also kommt da hin x^2+x=0
x(x+1)=0
x1=-1
x2=0

wäre das richtig ?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Die Menge kannst du also einfach schreiben als .
 
 
Math_Love15 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok also {-1,0} vereinigt
Also ist das die nächste Menge die ich vereinfachen würde das wäre nichts anderes als:
und
Und das wenn ich das im Intervall aufschreiben müsste wäre das
[0;2]
Also {-1,0} vereinigt [0;2] oder ?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

ist nicht das Intervall . Schreib dir doch mal für die ersten Werte von auf, was ist; dann kannst du dir die Menge besser vorstellen.
Math_Love15 Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn ich für n eine ungerade Zahl einsetzte Konvegiert das gegen -1 und wenn ich eine gerade zahl einsetze konvegiert das gegen 1.
Also genauer gesagt.. bei ungeraden zahlen kommt das Intervall (-1;0] und bei geraden zahlen (1;1,5] und wenn ich diese 2 Intervalle vereinigen kommt (-1;0]u(1;1,5] ist es denn jetzt richtig?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Du erhältst nicht alle Zahlen im Intervall bzw. .

Nochmal mein Hinweis:
Zitat:
Original von 10001000Nick1
Schreib dir doch mal für die ersten Werte von auf, was ist; dann kannst du dir die Menge besser vorstellen.
Math_Love15 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok dann ganz langsam wenn ich jetzt für n=1 einsetze bekomme ich 0 raus.
Wenn ich für n=2 einsetze bekomme ich 1,5 raus
n=3 bekomme ich -2/3
n=4 bekomme ich 5/4
Also stimmt das doch was ich sagte hmm irgendwo
Liege ich falsch könntest du mir helfen ?
Math_Love15 Auf diesen Beitrag antworten »

Ach ich glaube ich weiß jetzt was mein fehler war :
und zwar wenn ich jetzt für n=1 nehme kommt da 0 raus also das 0 element
und wenn ich für n=2 nehme kommt 1,5 raus wenn ich jetzt für n=3 einsetzte kommt -2/3 raus also wäre z.B -0,5 nicht dabei da wir ja nur natürliche zahlen einsetzen dürfen
also könnte ich doch einfach das Intervall nochmal aufschreiben aber dazu schreiben das es ein element von N ist ? hmm nein das würde auch nicht gehen aber ich kann ja auch nicht bis unendlich einsetzen und alles notieren.. unglücklich
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich dich richtig verstanden habe, hast du jetzt also gesehen, dass es zwischen den Elementen in der Menge "Lücken" gibt. Und genau deswegen kann man die Menge nicht als Vereinigung zweier Intervalle darstellen, wie du das machen wolltest.

Hilfreich ist es vielleicht, die Menge zu schreiben als .
Math_Love15 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau so habe ich das verstanden aber ich frage mich was mir das hilft wenn ich es so aufschreiben..
Naja ich habe jetzt zusammengefasst
M:= {-1;0} u {1+1/n| n in N gerade}u {-1+1/n| n in N ungerade} u [1;2]u (9;10)
So die menge ist also die Vereinigung all dieser Elementen kann ich das alles nochmal kompakter aufschreiben ?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Math_Love15
Genau so habe ich das verstanden aber ich frage mich was mir das hilft wenn ich es so aufschreiben..

Naja, das ist halt Ansichtssache, welche Version man "schöner" findet. Manch einer findet eben meine (längere) Version übersichtlicher. Ich komme bei Vorzeichen sowieso oft durcheinander, sodass ich ganz froh bin, wenn ich die Fallunterscheidung für n gerade/ungerade nicht im Kopf machen muss, sondern das schon da steht. Augenzwinkern

Zitat:
Original von Math_Love15
kann ich das alles nochmal kompakter aufschreiben ?

Nein, mehr kann man da nicht mehr machen. Aber Infimum, Supremum usw. solltest du da jetzt ablesen können.
Math_Love15 Auf diesen Beitrag antworten »

Also erstmal danke für die Antwort also ich würde erstmal zeigen das die menge beschränkt ist und ich würde das so begründen
Ich würde sagen das wenn man x^2=-x anschaut das einmal x=-1 und x=0 raus kommt und das x=-1 das kleinste Element der Menge ist d.h die Menge ist nach unten beschränkt und ich würde aber sagen das die Menge nicht nach oben beschränkt ist da die größte zahl 10 ist aber die nicht zum Intervall gehört könnte ich das denn so saqen oder liege ich da falsch ?
Math_Love15 Auf diesen Beitrag antworten »

Es tut mir leid natürlich ist die Menge auch nach oben beschränkt genau wegen der 10. Aber ob sie einen Supremum hat das kann man genau nicht sagen und das infimum wäre -1 stimmt das
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt.

Wieso sollte man nicht sagen können, ob die Menge ein Supremum hat? Die Menge ist nach oben beschränkt, deswegen besitzt sie ein Supremum. Das musst du nur noch finden.

Als Begründung für die Beschränktheit könnte man auch sagen, dass die Vereinigung endlich vieler beschränkter Mengen wieder beschränkt ist.
Math_Love15 Auf diesen Beitrag antworten »

Also min M =Inf M =-1 und ein Maximum gibt es nicht aber die Menge ist nach oben beschränkt und eine obere schranke ist 10 aber ob es die kleinste obere schranke ist kann ich das einfach so sagen ? also ich weiß das wenn ein Max M existieren würde wäre es auch gleichzeitig das Sup von M aber so wenn kein max existiert einfach zu sagen SUp M= 10 da bin ich mir nicht sicher ?
und wenn ich die inneren Punkte von M aufschreiben müsste und alle Häufungspunkte wie gehe ich dann vor würde mich echt interessieren ?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

In ist doch das Intervall enthalten. Kann es da noch eine kleinere obere Schranke geben?

Was sind denn innere Punkte?
Math_Love15 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein natürlich nicht aber habe ich es richtig gesagt das es kein Maximum gibt ?
Also ist 10 das supremum. Ok gut. Also ´die Menge der inneren Punkte "Jedes Element einer Teilmenge M eines topologischen Raums X, zu dem sich eine Umgebung in X finden lässt, die vollständig in M liegt, ist ein innerer Punkt von M. Die Menge aller inneren Punkte von M heißt Inneres oder offener Kern von M." Quelle: Wikipedia aber was heißt das genau was wären denn die inneren punkte und die Häufungspunkte
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, ein Maximum gibt es nicht (nach Definition ist ja das Maximum gleich dem Supremum, falls das Supremum in der Menge enthalten ist; es ist aber ).

Im mit der euklidischen Topologie sieht die Definition von inneren Punkten so aus: ist innerer Punkt von , falls es ein gibt, sodass die offene Kugel mit Mittelpunkt und Radius vollständig in enthalten ist (diese Kugel ist die Menge .

Da wir uns im befinden, ist diese Kugel einfach ein Intervall: .

Zeichne dir am besten mal die Menge auf einem Zahlenstrahl auf; und dann kannst du da sehen, zu welchen Punkten in man ein Intervall finden kann, das vollständig in enthalten ist.
Math_Love15 Auf diesen Beitrag antworten »

Um ehrlich zu sein verstehe ich nicht ganz was du meinst damit.. alles was in M drinnen ist ist doch vollständig in M drinnen. Das Intervall [1;2] ist vollständig in m drinnen z.B
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Nehmen wir z.B. mal .

Falls ein innerer Punkt von ist, gibt es ein , sodass das Intervall in enthalten ist.

Kann man ein solches finden?

(Wie gesagt: veranschauliche dir das ganze an einem Zahlenstrahl; auch das Intervall . Das macht die ganze Sache einfacher. smile )
Math_Love15 Auf diesen Beitrag antworten »

nein natürlich würde es bei -1 nicht gehen. aber ich glaube mit 1,5 müsste es gehen denn wenn ich zu der 1,5 0,5 subtrahiere und addiere bekomme ich das Intervall [1;2] raus und das ist vollständig in M enthalten. Aber ich frage mich wie ich das rausbekommen soll bei (-1)^n +1/n denn da kriegen wir werte wie -2/3 im Intervall und beliebig nah zahlen zu -1 das sind ja unendliche zahlen.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe gerade, dass ich nochmal etwas korrigieren muss zu dieser Frage:
Zitat:
Original von Math_Love15
M:= {-1;0} u {1+1/n| n in N gerade}u {-1+1/n| n in N ungerade} u [1;2]u (9;10)
So die menge ist also die Vereinigung all dieser Elementen kann ich das alles nochmal kompakter aufschreiben ?

Das habe ich oben wohl übersehen: Es ist doch (klar, wieso?); man kann deswegen schreiben:
. Damit brauchen wir jetzt die Punkte nicht mehr gesondert betrachten.

Jetzt zurück zu den inneren Punkten:
Das Prinzip hast du jetzt scheinbar verstanden. smile

Zitat:
Original von Math_Love15
nein natürlich würde es bei -1 nicht gehen.

Genau. Deshalb ist kein innerer Punkt von .

Zitat:
Original von Math_Love15
aber ich glaube mit 1,5 müsste es gehen denn wenn ich zu der 1,5 0,5 subtrahiere und addiere bekomme ich das Intervall [1;2] raus und das ist vollständig in M enthalten.

Auch fast richtig. Da wir offene Intervalle betrachten, musst du aber überprüfen, ob das offene Intervall in enthalten ist; nicht das abgeschlossene. Bei dieser Aufgabe (oder allgemein im ) würde das keinen Unterschied machen; aber es gibt Topologien, in denen das sehr wohl einen Unterschied macht.
Aber offensichtlich ist das Intervall in enthalten, ist also ein innerer Punkt von .



Zitat:
Original von Math_Love15
Aber ich frage mich wie ich das rausbekommen soll bei (-1)^n +1/n denn da kriegen wir werte wie -2/3 im Intervall und beliebig nah zahlen zu -1 das sind ja unendliche zahlen.

Wie du oben schon gesagt hast, besteht die Menge nur aus einzelnen (isolierten) Punkten; und auch die anderen Punkte aus füllen diese Lücken nicht aus. Kann man da um irgendeinen solchen Punkt ein Intervall legen, das in enthalten ist?
Math_Love15 Auf diesen Beitrag antworten »

Schwierig zu sagen aber ich denke mal nicht? Muss ich jetzt die inneren Punkte suchen ? oder gibt es da eine Methode die rauszufinden ?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm... hast du dir die Menge an einem Zahlenstrahl skizziert? Da müsste man das eigentlich sofort sehen.

Ungefähr so sollte das ausshen: [attach]39857[/attach]

Nehmen wir mal die . Kannst du da ein Intervall drumlegen, sodass das Intervall vollständig in (also in der rot markierten Menge) liegt?

Zitat:
Original von Math_Love15
oder gibt es da eine Methode die rauszufinden ?

Ja, gibt es: Scharfes Nachdenken. Augenzwinkern


Ich bin für heute weg, morgen Nachmittag melde ich mich wieder (bis dahin kannst du ja schon mal schreiben, welche Punkte deiner Meinung nach innere Punkte sind). Wink
Math_Love15 Auf diesen Beitrag antworten »

Achse vielen Dank also 0 kann kein innerer Punkt sein. Also meiner Meinung nach sind die inneren Punkte : 1,5 wegen (1;2) , und eigentlich sind das alle Punkte die im Intervall (1;2) sind weil 1,6 würde auch gehen wenn ich 0,4 mal nach recht und nach links gehe ist das immer noch ganz in M. Und alle Punkte zwischen (9;10) so müsste das sein oder ?
Und was sind dann die Häufungspunkte Hmm ..
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig; die Menge der inneren Punkte ist .

Ein Punkt heißt Häufungspunkt einer Menge , falls für jedes die Menge nicht leer ist. (Ein Häufungspunkt von muss also nicht in liegen.)
Speziell für bedeutet das also: ist Häufungspunkt von , falls für alle gilt: .

Anders gesagt: Jede (noch so kleine) Umgebung von muss (außer ) noch (mindestens) einen anderen Punkt von enthalten.
Math_Love15 Auf diesen Beitrag antworten »

hmm das verstehe ich jetzt nicht ganz aber ich werde es versuchen also verstehe ich das richtig ich muss eine stelle finden wo ich immer eine Teilmenge davon finden kann z.B (1;2)
Ich kann jetzt eine Teilmenge finden vom Intervall also (1,1,5) und davon finde ich auch eine Teilmenge und das muss unendlich mal gehen ? verstehe ich das richtig ?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Math_Love15
verstehe ich das richtig ?

Ich glaube, nicht so richtig.

Ein Beispiel: Wir nehmen . Für ergibt sich dann das Intervall . Dieses enthält aber außer 0 keinen Punkt von ; also ist 0 kein Häufungspunkt von .

Anderes Beispiel: . Dieser Punkt liegt zwar nicht in ; aber jedes Intervall enthält Punkte aus dem Intervall , also auch aus ; egal, wie klein ist. Deswegen ist 10 ein Häufungspunkt von .
Math_Love15 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber das stimmt doch nicht wenn ich jetzt x=10 habe und zu der 10 1 addieren und subtrahieren also Epsilon=1 kommt doch einmal (9;11) raus und nicht jeder punkt von diesem Intervall ist in M drinnen.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Es muss ja auch nicht das komplette Intervall in liegen. Lies dir das nochmal durch:
Zitat:
Original von 10001000Nick1
Speziell für bedeutet das also: ist Häufungspunkt von , falls für alle gilt: .

Da steht nirgends, dass das Intervall Teimenge von sein soll.
Math_Love15 Auf diesen Beitrag antworten »

Also heißt es nicht alle punkte müssen im Intervall liegen aber wenn Das der fall ist dann wäre doch auch 0 ein Häufungspunkte ich bin sehr verwirrt irgendwie. hmm..
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Wir nehmen mal und .

Dann ist . Wir müssen überprüfen, ob der Schnitt von dieser Menge mit leer ist oder nicht.

Findest du irgendeinen Punkt, der in und in liegt?
Math_Love15 Auf diesen Beitrag antworten »

achsoo nein natürlich nicht aber muss ich das dann für jedes Epsilon überprüfen oder reicht es schon wenn ich sehen ok für Epsilon 1/2 geht's nicht dann ist 0 kein HP.
Ich würde jetzt nochmal auf dein Bsp x=10 zugreifen
Also z.B (9;11)\{10} und M hier sind mehrere Punkte was In M drinnen ist und dem Intervall (9;11)\{10} z.B wäre es der Punkt 9,5 und ich finde kein Epsilon womit es nicht geht. Ich würde dann sagen das es auch für x=1 x=2 gehen müsst stimmts ? und wie kann ich das allgemein zeigen ? oder musste ich das Beweisen ?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Math_Love15
achsoo nein natürlich nicht aber muss ich das dann für jedes Epsilon überprüfen oder reicht es schon wenn ich sehen ok für Epsilon 1/2 geht's nicht dann ist 0 kein HP.

In der Definition stand ja " ist ein Häufungspunkt, falls für alle gilt ...".
D.h. um zu widerlegen, dass ein Punkt ein Häufungspunkt ist, reicht es, ein anzugeben, mit dem es nicht funktioniert.

Ja, 1 und 2 sind auch Häufungspunkte. Es gibt aber noch mehr.

In der Aufgabe steht nur "Geben Sie ... an". Also ist wohl keine explizite Begründung verlangt. Zur Übung kannst du es ja trotzdem mal für einen konkreten Punkt zeigen.
Math_Love15 Auf diesen Beitrag antworten »

Also x=9 ist auch ein Häufungspunkt ich glaube das die punkte im Intervall [1;2] und (9;10) alles Häufungspunkte sind ist das wahr Big Laugh
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Bis jetzt alles richtig. Im mit der üblichen Topologie sind übrigens innere Punkte einer Menge immer auch Häufungspunkte.

Ein Häufungspunkt fehlt aber noch. Augenzwinkern
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