Rechnen mit Matrizen/Vektoren in Algebra

14.11.2015, 19:09

Integraluss

Rechnen mit Matrizen/Vektoren in Algebra

Hallo,

die letzten Tage haben wir uns mit dem Gaußschen Lösungsverfahren bei Matrizen befasst. Das Lösen ist mir prinzipiell klar, man muss einfach so weit gehen bis man eine Treppenform hat und kann man ja die Lösung mehr oder weniger ablesen.

Aber folgendes ist mir nicht klar:
http://imgur.com/kxb2C8s

Folgendes wurde noch dazu geschrieben(ist nicht auf dem Bild zu sehen):

Zitat:

Eine konkrete Lösung des inhomogenen Systems ist $\begin{eqnarray*} x =\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .Die gesamte Lösungsmenge lautet $\begin{eqnarray*} L=\{(-1,1,0)x + \alpha(1,-2,1)|\alpha \in \mathbb{Q}\} \end{eqnarray*}$

Vielleicht hier noch ein Bsp, was das textuell beschreibt: Bild-Anhang

Aber ich verstehe denn Sinn dahinter nicht. Ich habe doch da schon meinen Lösungsvektor (-1,1,0), was bringt mir dann diese "Ausfüllung"?

Gruß
Integraluss

14.11.2015, 19:53

echnaton

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In deinen Ausführungen sind noch ein paar Ungereimtheiten. In der handschriftlichen Notiz müssen die Lösungsvektoren $\begin{eqnarray*} \in \mathbb{Q}^3 \end{eqnarray*}$ sein, nicht $\begin{eqnarray*} \in \mathbb{Q}^4 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Die gesamte Lösungsmenge lautet $\begin{eqnarray*} L=\{(-1,1,0)x + \alpha(1,-2,1)|\alpha \in \mathbb{Q}\} \end{eqnarray*}$

Hier muss das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ weg.

Zitat:

Aber ich verstehe denn Sinn dahinter nicht. Ich habe doch da schon meinen Lösungsvektor (-1,1,0), was bringt mir dann diese "Ausfüllung"?

$\begin{eqnarray*} (-1,1,0)^T \end{eqnarray*}$ ist eine Lösung, aber es existieren weitere. Die Lösungsmenge eines inhomogenen LGS setzt sich zusammen aus einer speziellen Lösung und dem Kern: $\begin{eqnarray*} L = x_0 + \text{Kern}(A) \end{eqnarray*}$ (Der Beweis ist nicht schwierig)

Der Kern ist in deinem Beispiel die Menge $\begin{eqnarray*} \{ \alpha(1,-2,1)^T : a \in \mathbb{Q} \} \end{eqnarray*}$ .

14.11.2015, 20:41

Integraluss

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Ah, sehr gut, danke!

1. Wie erkennt man, dass ich da unendliche Lösungen habe?

2. Dieses "Auffüllen" muss doch irgendeine Bedeutung haben, oder nicht? Das steht doch sogar im Skriptum(siehe Bild), aber ich verstehe nicht, was das bringen soll. Weiß da jemand mehr bitte?

14.11.2015, 20:57

echnaton

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Ach, das Auffüllen meinst du. smile

Dann ist meine erste Bemerkung aus meinem ersten Beitrag Stuss. Sorry, nicht genau gelesen.

14.11.2015, 21:02

Integraluss

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Okay

.

Und hast du eine Idee, was das bedeuten könnte?

15.11.2015, 07:52

Integraluss

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Hat jemand bitte ne Idee dazu, warum man das "auffüllen" macht?

Und bitte beantwortet meine Frage 1. "Wie erkenne ich, dass ich z.B. in dem Bsp unendlich viele Lösungen habe"?

15.11.2015, 12:13

Integraluss

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Zur Info: Ich habe hier(http://www.onlinemathe.de/forum/Gausssch...en-mit-Matrizen) dieselbe Frage gestellt, da ich einfach wissen will, was dieses "Ausfüllen" bringt, also ich sags nur zur Sicherheit, den parallel Antworten ist sinnlos und nur Zeitverschwendung für euch, wenn es dann schon auf der anderen Plattform beantwortet wurde. Ich hoffe es ist okay so. Würde mich aber trotzdem freuen auf eine Antwort hier, falls es noch nicht beantwortet wurde.

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