Doppelsumme umformen

15.11.2015, 12:08	Lampe16	Auf diesen Beitrag antworten »
Doppelsumme umformen Hallo Mathematiker, ich kann die Richtigkeit der Gleichung $\begin{eqnarray} <br /> \sum_{k=1}^{n-1}\left(a_k t_k\sum_{j=k+1}^n t_j\right)=\sum_{j=2}^n\left(t_j\sum_{k=1}^{j-1}a_k t_k\right)<br /> \end{eqnarray}$ für eine bestimmte natürliche Zahl $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ beweisen, indem ich die Summen expandiere. Gibt es für diesen Fall Rechenregeln, mit denen der Beweis allgemein gelingt?
15.11.2015, 12:13	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht hier um die Doppelsumme $\begin{align} \sum_{\substack{(k,j):\\ 1\leq k < j \leq n}} a_kt_kt_j \end{align}$ : Links findet die äußere Summation über $\begin{align} k \end{align}$ und die innere Summation über $\begin{align} j \end{align}$ statt, rechts umgekehrt.
15.11.2015, 12:16	Lampe16	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke HAL 9000, damit werde ich es versuchen.
15.11.2015, 21:13	Lampe16	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo HAL9000, ich komme doch nicht weiter. Ich habe die inneren Summenzeichen nach links verschoben und auf der rechten Seite die Bezeichnungen j und k vertauscht, um die Form der Seiten näher zueiander zu bringen. Das ergibt $\begin{eqnarray} <br /> \sum_{k=1}^{n-1}\sum_{j=k+1}^n\left(a_k t_k t_j\right)=\sum_{k=2}^n\sum_{j=1}^{k-1}\left(a_k t_kt_j\right)<br /> \end{eqnarray}$ . Siehst du darin schon die Identität? Vertauschen der Summationsreihenfolge auf einer Gleichungsseite könnte weiterführen, aber dann hängt die obere Grenze der äußeren Summation vom Laufindex der inneren ab, was m. E. undefiniert ist. Wie kommt man hier voran?
15.11.2015, 21:33	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es fällt mir schwer, das noch genauer zu erklären, weil es an sich ein so primitiver Sachverhalt ist... Ich stelle mal eine Skizze rein, über welche Punkte (k,j) im Fall n=6 summiert wird: [attach]39756[/attach] Da kannst du dir dann selber überlegen, was das für äußere Summation $\begin{align} k \end{align}$ (links) bzw. $\begin{align} j \end{align}$ (rechts) für die innere Summation der jeweils anderen Variable dann bedeutet.
15.11.2015, 21:54	Lampe16	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Schema hat's gebracht. Danke HAL 9000! p.s. Selbst primitive Sachverhalte durchschauen Primaten manchmal nicht gleich.
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