Mächtigkeit, G-Mengen, Stabilisator, Bahn

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AmHa Auf diesen Beitrag antworten »
Mächtigkeit, G-Mengen, Stabilisator, Bahn
Meine Frage:
Es seien m,n . Die Primzahl p sei kein Teiler von m. Wir betrachten eine Gruppe G der Mächtigkeit ()m. Es bezeichne die Menge aller Teilmengen von G mit Mächtigkeit .

1. Offensichtlich ist | | = . Begründen Sie, wieso die Mächtigkeit von nicht von p geteilt wird.

2. Folgern Sie, dass es eine G-Bahn in gibt derart, dass die Mächtigkeit von nicht von p geteilt wird.

3. Für ein fest gewähltes T sei nun Q der Stabilisator von T in G. Zeigen Sie, dass die Mächtigkeit der Gruppe Q von geteilt wird.

4. Beweisen Sie, dass Q die Mächtigkeit hat

Meine Ideen:
zu 1.: Ich verstehe nicht, warum die Mächtigkeit von nicht durch p geteilt werden sollte ? Schließlich wird die Mächtigkeit am Anfang auch mit bezeichnet, wieso wird denn nun p^n nicht von p geteilt, oder habe ich da irgendwas falsch verstanden ?

zu 4.: Tipp: Man soll ein für fest gewähltes Element x T die Menge {ax| a q} betrachten.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, ich hatte Unsinn geschrieben.
 
 
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
Ich gebe dir mal einen tip für 1)
Guck dir die Definition für den binomialkoeffizienten an. Wie oft kommt p als primfaktor im Nenner p^n! vor?
Und wie oft im Zähler? Du wirst staunen. Augenzwinkern
Gruss ollie3
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mächtigkeit, G-Mengen, Stabilisator, Bahn
Zitat:
Original von AmHa


Meine Ideen:
zu 1.: Ich verstehe nicht, warum die Mächtigkeit von nicht durch p geteilt werden sollte ? Schließlich wird die Mächtigkeit am Anfang auch mit bezeichnet, wieso wird denn nun p^n nicht von p geteilt, oder habe ich da irgendwas falsch verstanden ?


Du sollst zeigen, dass
AmHa Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mächtigkeit, G-Mengen, Stabilisator, Bahn
Also, man kann den Binomialkoeffiezienten ja auf verschiedene Arten umschreiben, allerdings bin ich mir durch die ganzen Fakultäten, die da vorkommen etwas unsicher mit dem umformen...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt ja die leidlich bekannte Fragestellung, wie oft Primfaktor in enthalten ist, mit der Antwort



In dem Sinne wäre die Behauptung hier angesichts von äquivalent zu

.

Dabei kann man sich zunutze machen, dass



ist, und zwar für .


P.S.: Scheint mir etwas umständlich, aber zumindest funktioniert es so. Augenzwinkern
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn einem das zu undurchsichtig ist, dann kann man auch in die Faktoren im Zähler und Nenner bestimmen, die durch teilbar sind.
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