Ggt von Polynomen

15.11.2015, 14:07

eswt

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Ggt von Polynomen

Meine Frage:
Aufgabe
Wir betrachten die Polynone f und g aus F11[x], wobei wir als Koeffizienten jeweils die kanonischen Repräsentanten der entsprechenden Äquivalenzklasse schreiben, der Übersichtlichkeit halber.
Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von f und g mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus und gebe eine gemeinsame Nullstelle von f und g an.
$\begin{eqnarray*} <br /> f := x^3 + 9x^2 + 7x + 3<br /> g := x^4 +10x^3 +x^2 +4x+2<br /> \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich muss also so oft die Polynomdivisison durchführen, bis ich als Rest 0 rausbekomme. Und dabei achten, dass ich mit modulo 11 arbeiten muss.

wenn ich g durch f rechne erhalte ich x+1 mit dem $\begin{eqnarray*} Rest 7x^2+5x+10 \end{eqnarray*}$

Nun rechne ich f durch den 1. Rest und erhalte $\begin{eqnarray*} \frac{1}{7}*x+\frac{56}{49} mit Rest: \frac{522}{49}*x+\frac{106}{49} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das noch 2 x wiederhole, bekomme ich $\begin{eqnarray*} \frac{17779581}{15476846}*x+\frac{3610413}{15476846} \end{eqnarray*}$ raus.
Das sieht mir irgendwie falsch aus.
Könnte mir jemand sagen wo mein Fehler liegt.

15.11.2015, 14:22

tatmas

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Hallo,

dein Fehler ist, dass du die Polynome als Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q [X] \end{eqnarray*}$ und nicht wie von der Aufgabe vorgegeben als Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{11}[X] \end{eqnarray*}$ betrachtest.

Ferner führst deine Polynomdivsion im 2. Fall nur halb aus, der Rest muss echt kleineren Grad als der Divisor haben.

15.11.2015, 14:32

eswt

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Zitat:

Original von tatmas

Ferner führst deine Polynomdivsion im 2. Fall nur halb aus, der Rest muss echt kleineren Grad als der Divisor haben.

ich verstehe nicht wie du das meinst?

15.11.2015, 14:36

tatmas

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{7}*x+\frac{56}{49} mit Rest: \frac{522}{49}*x+\frac{106}{49} \end{eqnarray*}$

Wenn du hier weitermachst kann nur was mit Grad 0 als Rest rauskommen. (und zwar nach einem Schritt)

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{17779581}{15476846}*x+\frac{3610413}{15476846} \end{eqnarray*}$ raus.

hat Grad 1.

15.11.2015, 14:49

eswt

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Wenn ich den ersten Rest $\begin{eqnarray*} 7x^2+5x^2+10 \end{eqnarray*}$ durch den 2.Rest $\begin{eqnarray*} \frac{522}{49}*x+\frac{106}{49} \end{eqnarray*}$ teile, erhalte ich doch immer noch $\begin{eqnarray*} \frac{343}{522}*x+\frac{22883}{68121} \end{eqnarray*}$ das ist doch immer noch Grad 1?

15.11.2015, 14:53

HAL 9000

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Diese Brüche machen die Sache doch nur unleserlich, und sind modulo 11 doch nun wirklich komplett unnötig. Am besten multiplizierst du jeden neuen Rest derart mit einer Einheit, dass der Leitkoeffizient gleich 1 ist, also z.B.

$\begin{align*} 8\cdot (7x^2+5x+10) = 56x^2+40x+80 = x^2+7x+3 \end{align*}$

usw.

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15.11.2015, 14:56

tatmas

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$\begin{eqnarray*} 7x^2+5x+10 = whatever*(\frac{522}{49}x +\frac{106}{49} )+\frac{343}{522}*x+\frac{22883}{68121}=(whatever -\frac{7^5}{522^2} ) \frac{522}{49}x +\frac{106}{49} + Konstante \end{eqnarray*}$ (ich übernehme keinerleie Gewähr für irgendwelche Rechenfehler)

Da es scheinbar untergeht:
Das ist nicht der wesentliche Fehler den du machst. Du rechnest im falschen Körper. Deswegen sind die Zahlen auch so hässlich.

edit Mathema: Latex korrigiert

15.11.2015, 15:05

eswt

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Zitat:

Original von HAL 9000

$\begin{align*} 8\cdot 56x^2+40x+80 = x^2+7x+3 \end{align*}$

usw.

Wie kommst du darauf?

15.11.2015, 15:07

eswt

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Zitat:

Original von tatmas
$\begin{eqnarray*} 7x^2+5x+10 = whatever*(\frac{522}{49}x +\frac{106){49} )+\frac{343}{522}*x+\frac{22883}{68121}=(whatever -\frac{7^5}{522^2} ) \frac{522}{49}x +\frac{106){49} + Konstante \end{eqnarray*}$ (ich übernehme keinerleie Gewähr für irgendwelche Rechenfehler)

Leider ist deine Rechnung nicht lesbar?

15.11.2015, 15:08

HAL 9000

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Zitat:

Original von eswt
Wie kommst du darauf?

Auf grob inhaltlich verfälschte Zitate antworte ich nicht. Forum Kloppe

Forum Kloppe

15.11.2015, 15:14

tatmas

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Zitat:

Original von eswt

Zitat:

Original von tatmas
$\begin{eqnarray*} 7x^2+5x+10 = whatever*(\frac{522}{49}x +\frac{106){49} )+\frac{343}{522}*x+\frac{22883}{68121}=(whatever -\frac{7^5}{522^2} ) \frac{522}{49}x +\frac{106}{49} + Konstante \end{eqnarray*}$ (ich übernehme keinerlei Gewähr für irgendwelche Rechenfehler)

Leider ist deine Rechnung nicht lesbar?

Besser?

Und bitte nimm das auch mal zur Kenntnis:

Zitat:

Das ist nicht der wesentliche Fehler den du machst. Du rechnest im falschen Körper. Deswegen sind die Zahlen auch so hässlich.

Das beantwortet auch deine Frage an HAL 9000.

15.11.2015, 15:20

tatmas

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Zitat:

Original von tatmas

Zitat:

Original von eswt

Zitat:

Original von tatmas
$\begin{eqnarray*} 7x^2+5x+10 = whatever*( \frac{522}{49} x +\frac{106}{49} )+\frac{343}{522} \cdot x+\frac{22883}{68121}=(whatever -\frac{7^5}{522^2} ) (\frac{522}{49}x +\frac{106}{49} ) + Konstante \end{eqnarray*}$ (ich übernehme keinerlei Gewähr für irgendwelche Rechenfehler)

Leider ist deine Rechnung nicht lesbar?

Besser?

Und bitte nimm das auch mal zur Kenntnis:

Zitat:

Das ist nicht der wesentliche Fehler den du machst. Du rechnest im falschen Körper. Deswegen sind die Zahlen auch so hässlich.

Das beantwortet auch deine Frage an HAL 9000.

15.11.2015, 15:32

eswt

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von eswt
Wie kommst du darauf?

Auf grob inhaltlich verfälschte Zitate antworte ich nicht. Forum Kloppe

Forum Kloppe

Tut mir leid traurig

traurig

Aber ich glaube ich habe es jetzt verstanden!

$\begin{eqnarray*} (x^3+9x^2+7x+3)/(x^2+7x+3) = x+2 <br /> Rest = x-3<br /> <br /> (x^2+7x+3)/(x-3)=x+10<br /> Rest = 0 <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Daraus folgt, dass x+10 größter gemeinsamer Teiler von f und g ist?

15.11.2015, 15:41

HAL 9000

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Nicht der letzte Quotient ist der ggT, sondern der letzte von Null verschiedene Rest, hier demnach $\begin{align*} x-3 \end{align*}$ .

15.11.2015, 15:46

eswt

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Zitat:

Original von HAL 9000
Nicht der letzte Quotient ist der ggT, sondern der letzte von Null verschiedene Rest, hier demnach $\begin{align*} x-3 \end{align*}$ .

Ok danke.

Die gemeinsame Nullstelle kann ich doch auch mit dem ggt berechnen oder?
Mir fehlt da der Ansatz?

15.11.2015, 15:55

HAL 9000

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Jede gemeinsame Nullstelle von $\begin{align*} f \end{align*}$ und $\begin{align*} g \end{align*}$ ist auch Nullstelle von deren ggT - und umgekehrt!

15.11.2015, 16:41

eswt

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Vielen Dank! Freude

Freude

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