Summationsformel ausrechnen

16.11.2015, 22:48

innotux

Summationsformel ausrechnen

Hallo zusammen

Mittels vollständiger Induktion lässt sich relativ einfach beweisen, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^n k = \frac{1}{2}(n^2 + n -2) \end{eqnarray*}$ . Ich stehe jedoch auf dem Schlauch, wie man überhaupt zu der Induktionsannahme kommt, wenn die Summe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^n k \end{eqnarray*}$ gegeben ist. Einfach einsetzen von einigen Werten und herleiten einer passenden Gleichung, die es dann zu beweisen gilt? Da muss es doch eine bessere Methode geben!

17.11.2015, 00:27

Dopap

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die Summe erinnert stark an das $\begin{eqnarray*} \int x dx =\tfrac 12 x^2 +c \end{eqnarray*}$ .

man kann daher ansetzen:

$\begin{eqnarray*} \sum_2^n k= an^2+bn+c \end{eqnarray*}$ mit

1.) $\begin{eqnarray*} n=2 \quad folgt \quad 2=4a +2b+c \end{eqnarray*}$

2.) $\begin{eqnarray*} n=3 \quad folgt\quad 5=9a +3b+c \end{eqnarray*}$

3.) $\begin{eqnarray*} n=4 \quad folgt\quad 9=16a +4b+c \end{eqnarray*}$

Das LGS löst man für a,b,c

19.11.2015, 00:16

innotux

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Besten Dank für die Antwort.

Der Ansatz mit dem LGS gibt Sinn, jedoch komme ich beim ersten Schluss vom Integral auf die quadratische Funktion nicht ganz mit.

Zitat:

Original von Dopap
die Summe erinnert stark an das $\begin{eqnarray*} \int x dx =\tfrac 12 x^2 +c \end{eqnarray*}$ .

man kann daher ansetzen:

$\begin{eqnarray*} \sum_2^n k= an^2+bn+c \end{eqnarray*}$

19.11.2015, 00:24

Dopap

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ich kann ja ein bekanntes Integral nicht falsch schreiben.

Bei der Summe wird ein unbestimmter Ansatz gemacht, und vermutlich wird a=1/2 sein.

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