Beweis Isomorphie

19.11.2015, 13:40

madsen1990

Beweis Isomorphie

Meine Frage:
Hallo,

ich soll beweisen, dass die Gruppe $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z, +) \end{eqnarray*}$ nicht isomorph ist zur Gruppe $\begin{eqnarray*} (\mathbb Q, +) \end{eqnarray*}$ .

Ich habe leider noch keine richtige Idee, wie ich da rangehen kann.

Meine Ideen:
Ich würde mir als Abbildung $\begin{eqnarray*} f: \mathbb Z -> \mathbb Q \end{eqnarray*}$ dass Cantorsche Diagonalargument nehmen. Somit wäre f ja schonmal bijektiv.
Dann würde ich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f(a+b) = f(a) + f(b) \end{eqnarray*}$ einen Widerspruch liefert und die Isomorphie somit nicht gegeben ist.

Aber irgendwie scheint mir dass nicht ausreichend. Es ist ja nur ein Beispiel für eine Abbildung. Ich denke ich müsste zeigen, dass dies für jede beliebige bijektive Abbildung zwischen beiden Gruppen gilt.
Aber ich hab keine Ahnung wie ich zeigen könnte, dass dies immer gilt.

Ich hoffe ihr könnt mir Anregungen geben.

Viele Grüße

madsen

19.11.2015, 14:09

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis Isomorphie
Jeder Homomorphismus $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z, +) \to (X, \oplus) \end{eqnarray*}$ für eine beliebige Gruppe $\begin{eqnarray*} (x, \oplus) \end{eqnarray*}$ ist bereits durch den Wert an der Stelle 1 eindeutig bestimmt. D.h. du musst zeigen, dass kein Homomorphismus bijektiv ist. Benutze, dass $\begin{eqnarray*} f(1) = q \end{eqnarray*}$ für kein $\begin{eqnarray*} q \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ zum Isomorphismus wird.

19.11.2015, 17:38

madsen1990

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für den Hinweis.

Würdest du mir bitte sagen woher folgt, dass die Gruppe $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z,+) \end{eqnarray*}$ durch den Wert an der Stelle 1 eindeutig bestimmt ist? Dazu habe ich nichts in meinen Mittschriften und würde das deswegen gern nochmal nacharbeiten.

Mit deinem Hinweis würde ich wie folgt vorgehen.

Sei f ein beliebiger Homomorphismus von $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z,+) \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} (\mathbb Q,+) \end{eqnarray*}$ .

Behauptung dieser Homomorphiosmus ist nicht Surjektiv.
Beweis durch Widerspruch:
f sei Surjektiv. Also gilt $\begin{eqnarray*} \forall q \in \mathbb Q \exists z \in\mathbb Z : f(z)=q \end{eqnarray*}$ .
Da f für den Wert an der Stelle 1 aber bereits eindeutig bestimmt ist gibt es kein $\begin{eqnarray*} q \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} f(1) = q \end{eqnarray*}$ . Dies ist ein Widerspruch zur Surjektivität. Also kann f nicht surjektiv sein.

Da f nicht surjektiv ist folgt, dass f nicht bijektiv ist.
Daraus folgt wiederum, dass f kein Isomorphismus sein kann.

Meint ihr, dass dies als Beweis genügt?

Viele Grüße

Madsen

19.11.2015, 17:44

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von madsen1990
Würdest du mir bitte sagen woher folgt, dass die Gruppe $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z,+) \end{eqnarray*}$ durch den Wert an der Stelle 1 eindeutig bestimmt ist?

$\begin{align*} 1 \end{align*}$ und $\begin{align*} -1 \end{align*}$ sind die Erzeugenden der additiven Gruppe $\begin{align*} \mathbb{Z} \end{align*}$ , die man als Modell der unendlich zyklischen Gruppe ansehen kann.

19.11.2015, 17:44

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Du weißt $\begin{eqnarray*} f(x+y) = f(x) + f(y) \end{eqnarray*}$ , weil es ein Homomorphismus ist, und $\begin{eqnarray*} f(1) = q \end{eqnarray*}$ . Also ist $\begin{eqnarray*} f(2) = f(1 + 1) = f(1) + f(1) = q + q = 2q \end{eqnarray*}$ , also ist der Homomorphismus durch die beiden Bedingungen bereits an der Stelle 2 eindeutig festgelegt. Natürlich ist dann $\begin{eqnarray*} f(3) = 3q \end{eqnarray*}$ usw.. Damit kann man leicht zeigen, dass es für alle positiven Zahlen bereits festgelegt. Den Beweis, dass es auch für negative festgelegt ist, überlasse ich mal dir.

Und dein Beweis ist leider nicht korrekt. Du willst so anfangen: Sei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ein Homomorphismus. D.h. es gibt ein $\begin{eqnarray*} q\in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ s.d. $\begin{eqnarray*} f(1) = q \end{eqnarray*}$ . Finde nun ein $\begin{eqnarray*} p \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ s.d. $\begin{eqnarray*} f(n) \neq p \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

19.11.2015, 21:41

madsen1990

Auf diesen Beitrag antworten »

Mhh okay,

Zum nachweis das es auch für die negativen Zahlen festgelegt ist würde ich jetzt argumentieren $\begin{eqnarray*} f(-1)=-q \end{eqnarray*}$ und dementsprechend $\begin{eqnarray*} f(-2) = f(-1+-1) = f(-1) +f(-1) = -2q \end{eqnarray*}$ und so weiter und natürlich soll gelten $\begin{eqnarray*} f(0) = 0*q = 0 \end{eqnarray*}$

Damit wäre ja gezeigt, dass f jedes $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ eindeutig einem Vielfachen von $\begin{eqnarray*} q \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ zuordnet.

Weiter würde ich nun sagen, dass es ein $\begin{eqnarray*} p \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} p = \frac{a}{b} , a,b\in \mathbb Z, b\geq 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a\neq b \end{eqnarray*}$ . So dass für alle $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} p\neq q \end{eqnarray*}$ .

Damit folgt, weil jedes $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ auf ein Vielfaches von $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ abgeblidet wird : dass für alle $\begin{eqnarray*} p\in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} f(x) \neq p \end{eqnarray*}$ .

Ich hoffe dass geht jetzt so langsam in die richtige Richtung. Die Aufgabe macht mich irgendwie fertig Augenzwinkern

20.11.2015, 06:12

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Es fehlt noch die Begründung warum $\begin{eqnarray*} f(-1) = -q \end{eqnarray*}$ . Warum kann es nicht eine beliebige Zahl sein?

Die grobe Idee deines Beweis stimmt, aber nicht die Umsetzung. Überlege dir, dass $\begin{eqnarray*} q = 0 \end{eqnarray*}$ kein Isomorphismus liefert. Danach kannst du $\begin{eqnarray*} 0 < |q| \end{eqnarray*}$ untersuchen. Du hast dir schon überlegt wie das Bild von f aussieht -- male es dir mal auf. Also ein Zahlenstrahl, nimm dir ein $\begin{eqnarray*} q \neq 0 \end{eqnarray*}$ und zeichne $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \cdot q \end{eqnarray*}$ . Du siehst riesige Lücken -- wähle dir ein $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ in diesen Lücken (in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ ).

Neue Frage »

Antworten »

Beweis Isomorphie

Verwandte Themen