Freie Variablen und Parameter im LGS

19.11.2015, 14:32

Psycholoe333

Freie Variablen und Parameter im LGS

Meine Frage:
Hallo ihr!

Ich habe zwei Fragen zur Lösung zu einem diesem Falle inhomogenen Gleichungssystem das mir wie folgt gegeben ist:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 3 \\ 3 & 1 & 0 \end{pmatrix} \times b = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Körper in dem gerechnet wird ist Z 3x3 und hat die Elemente {0,1,2,3,4}, sprich es wird Modulo 5 gerechnet. (Leider weiß ich die Latexdarstellung davon nicht, hoffe aber es ist klar was gemeint ist)

Noch dazu ist gegeben, dass

$\begin{eqnarray*} x3 = 0 + 1*\lambda \end{eqnarray*}$

Gesucht ist die nun die Lösung des inhomogenen LGS.

Meine Ideen:
Wegen der Vorgabe $\begin{eqnarray*} x3 = 0 + 1*\lambda \Rightarrow x3 = \lambda \end{eqnarray*}$ ist klar dass die gegebene Matrix keinen vollen Rang haben kann sondern zwei Gleichungen für 3 Variablen existieren. Entsprechend habe ich einige Umforumungen vorgenommen und bin zu der Zeilenstufenform

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & | 3 \\ 0 & 1 & 1 & | 3 \\ 0 & 0 & 0 & | 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

gekommen, die auch genau das bestätigt.

Und nun habe ich einen Knoten im Kopf. Natürlich kann ich nun mit $\begin{eqnarray*} x3 = \lambda \end{eqnarray*}$ die Gleichungen

$\begin{eqnarray*} x1 + 3* \lambda = 3 \Rightarrow x1 = 3 - 3* \lambda \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} x2 + lambda = 3 \Rightarrow x2 = 3 - 1* \lambda \end{eqnarray*}$

aufstellen, wobei wegen der Modulo 5 Rechenweise und der Vorgabe gelten müsste

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mir ist nun nicht ganz klar ob mein Ansatz und die Lösug soweit richtig sind.

* Ist überhaupt die Vorgabe $\begin{eqnarray*} x3 = 0 + 1*\lambda \end{eqnarray*}$ auf diese Art und Weise erfüllt?
* Bin ich von meinem LGS zur parametrisierten Lösung den Richtigen Weg gegangen oder geht man auch hier ganz anders vor?

Mir fehlt bisher leider das rechte Verständnis WIE ich eine freie Variable (wenn sie nicht gegeben ist) überhaupt auswähle und wie ich dann meine Rechnung in die parametrisierte Form überführe.

Für ein paar Hilfestellungen dieses vermutlich eigentlich einfachen Problems wäre ich sehr dankbar.

19.11.2015, 15:29

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Freie Variablen und Parameter im LGS

Zitat:

Original von Psycholoe333
Mir fehlt bisher leider das rechte Verständnis WIE ich eine freie Variable (wenn sie nicht gegeben ist) überhaupt auswähle

Etwas leichter tust du dich mit der Beantwortung dieser Frage, wenn du zunächst die nicht frei wählbaren Variablen bestimmst. smile

Befindet sich die Matrix eines LGS in Zeilenstufenform, dann gilt:

Die nicht frei wählbaren Variablen sind jetzt genau diejenigen Variablen, die jeweils dem ersten Nicht-Nullelement jeder Zeile entsprechen. Alle anderen Variablen sind frei wählbar.

Zitat:

Original von Psycholoe333
und wie ich dann meine Rechnung in die parametrisierte Form überführe.

Du hast doch jetzt folgende Lösungen:
$\begin{eqnarray*} x_3 = \lambda \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_2 = 3 - \lambda = 3 + 4 \cdot \lambda \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_1 = 3 - 3 \cdot \lambda = 3 + 2 \cdot \lambda \end{eqnarray*}$

Das ganze baust du dann zu dem Lösungsvektor zusammen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 + 2 \cdot \lambda \\ 3 + 4 \cdot \lambda \\ \lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

19.11.2015, 16:09

Pingunaut

Auf diesen Beitrag antworten »

Hab mich nun auch angemeldet, damit ich vernünftig antworten kann wenn sich schon jemand so nett um die Hilfestellung bemüht. Danke für deine Mühe an der Stelle.

Der Tipp mit dem "Nicht-Nullelement" ist natürlich super an der Stelle - danke auch dafür!

Und natürlich kann ich einen Haufen Gleichungen auch in eine Matrix schreiben, da hast du recht Ups

Nur wurde in der Vorlesung dieser Schritt immer übersprungen, so dass dann etwas wie

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & | 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & | 4 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -2 & | 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(Wohl nach Spaltentauschen der konfusen Reihenfolge $\begin{eqnarray*} x_3, x_4, x_5, x_1, x_2 \end{eqnarray*}$ )

prompt zu

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ -1 \\ 2 \end {pmatrix} \end{eqnarray*}$

wurde.

Hier wurden wohl x1 und x2 als freie Variablen gewählt wenn ich an deinen Nicht-Nullstellen Hinweis denke, die drei Gleichungen aufgestellt damit und am Ende muss bei der ersten freien Variable x1 schlichtwegs in $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ der Wert an der Stelle x1 = 1 und an x2 = 0 und entsprechend bei der zugehörigen freien Variable von x2 bei $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ an der Stelle x2 =1 und an x1 = 0...

Und dieses Schema kann ich immer anwenden? :'D Das wäre ja fabulös ... und würde durchaus Sinn machen Idee!

20.11.2015, 09:23

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Pingunaut
(Wohl nach Spaltentauschen der konfusen Reihenfolge $\begin{eqnarray*} x_3, x_4, x_5, x_1, x_2 \end{eqnarray*}$ )

prompt zu

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ -1 \\ 2 \end {pmatrix} \end{eqnarray*}$

wurde.

Wenn man die Variablen in der Reihenfolge der Matrix ohne Spaltenvertauschung nummeriert, dann lautet die korrekte Lösung:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_1 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end {pmatrix} \end{eqnarray*}$

Anmerkung: von einer Spaltenvertauschung würde ich in den allermeisten Fällen abraten. Insbesondere auch hier, da sich ja die Matrix schon in Zeilenstufenform befindet. smile

Zitat:

Original von Pingunaut
Hier wurden wohl x1 und x2 als freie Variablen gewählt wenn ich an deinen Nicht-Nullstellen Hinweis denke, die drei Gleichungen aufgestellt damit und am Ende muss bei der ersten freien Variable x1 schlichtwegs in $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ der Wert an der Stelle x1 = 1 und an x2 = 0 und entsprechend bei der zugehörigen freien Variable von x2 bei $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ an der Stelle x2 =1 und an x1 = 0...

Und dieses Schema kann ich immer anwenden?

Im Prinzip ja. Wenn du die freien Variablen bestimmt hast, setzt du eine gleich 1, die anderen gleich Null und bestimmst die Lösung. Dann wiederholst du das sukszessiv für alle weiteren freien Variablen. Die so gefundenen Vektoren bilden eine Basis des Kerns der Matrix. Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

Freie Variablen und Parameter im LGS

Verwandte Themen