Teilbarkeit durch eine Primzahl und Ordnung eines Gruppenelements

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Desogude Auf diesen Beitrag antworten »
Teilbarkeit durch eine Primzahl und Ordnung eines Gruppenelements
Hallo,

habe hier zwei Aufgaben die mir etwas Schwierigkeiten bereiten. Finde keinen passenden Ansatz

Aufg.1)
Sei G eine endliche Gruppe mit #G gerade. Zeigen Sie, dass es in G ein Element der
Ordnung 2 gibt. Hinweis: Man kann G disjunkt in Mengen der Form { }zerlegen.

ich weiß also, dass
mit

aber was ist damit gemeint, dass ich G in disjunkte Mengen zerlegen kann?

Aufg.2)

Sei eine natürliche Zahl und p eine Primzahl. Zeigen Sie, dass durch p teilbar ist.

Hier denke ich irgendwie, dass ich modulo rechnen muss. Bin mir aber nicht sicher.

Wäre für ein paar tips dankbar
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Überlege mal: Das neutrale Element hat die Ordnung 1, und es ist das einzige Element mit dieser Ordnung. Für die restlichen ungerad vielen Elemente der Gruppe tritt jeweils einer der beiden Fälle ein:

1) Für Elemente mit gilt .

2) Für Elemente mit gilt , d.h. solche Elemente mit Ordnung größer als 2 treten immer paarweise auf.
Pingunaut1 Auf diesen Beitrag antworten »

Idee zu der zweiten Aufgabe: Denk vielleicht mal daran dass ist. Augenzwinkern Und denk dann an die Definition einer Primzahl überleg mal ob dir auch für n eine alternative Schreibweise einfällt...
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pingunaut1
Denk vielleicht mal daran dass ist. Augenzwinkern


verwirrt Wohl kaum.

Desogude Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kann ich denn G in disjunkte Mengen erzlegen?

Mir ist klar, dass ich bei der ungeraden Anzahl nach Paarbildung eben das Element übrigbleibt für das und somit ord(a)=2 gilt. Ich weiß nur nicht, wie ich es mathematisch fassen soll.


Bei der Aufgabe mit den Primzahlen ist mir schon der Satz von Fermat eingeleuchtet.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Desogude
Mir ist klar, dass ich bei der ungeraden Anzahl nach Paarbildung eben das Element übrigbleibt für das und somit ord(a)=2 gilt.

Ist so formuliert irreführend: Es muss nicht nur das eine Element übrigbleiben - es ist nur wichtig, dass eine ungerade Anzahl übrigbleibt, die alle Ordnung 2 besitzen (z.B. drei bei der Kleinschen Vierergruppe).
 
 
Desogude Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der kleinschen Vierergruppe sind also die restlichen 3 Elemente (abzüglich des neutralen Elements) involutorisch und haben damit automatisch ord = 2.

Soweit so gut. Was bringt mir denn der Tipp mit der disjunkten Zerlegung? Ich versteh das nicht...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Tipp sowie die Erläuterungen hier im Thread sagen doch alles!!!

Ich kann jetzt allenfalls noch mit einem anderen Beispiel dienen: Betrachten wir die multiplikative Gruppe modulo 22, also , die enthält die Elemente .

1 hat Ordnung 1 (s.o.), es bleiben übrig {3,5,7,9,13,15,17,19,21}.
Das Inverse von 3 ist 15, es bleiben übrig {5,7,9,13,17,19,21}.
Das Inverse von 5 ist 9, es bleiben übrig {7,13,17,19,21}.
Das Inverse von 7 ist 19, es bleiben übrig {13,17,21}.
Das Inverse von 13 ist 17, es bleiben übrig {21}.

21 muss notgedrungen Ordung 2 haben, denn es gibt keinen "Partner" mehr, den es im Fall Ordnung >2 geben müsste.

In jedem Schritt vermindert sich die ungeradzahlige Elementmenge nach Entfernung eines Paares um genau zwei, bleibt also ungerade - bis zum Schluss.
Desogude Auf diesen Beitrag antworten »

Danke. Ich hatte, das soweit schon verstanden ^_^ und anhand eines Beispiels könnte ich es auch zeigen ich habe nur probleme es mathematisch aufzuschreiben...

trotzdem danke!! werde einfach weiter probieren
Desogude Auf diesen Beitrag antworten »

Sei G eine endliche Gruppe und endliche Teilmengen




mit


mit

dann ist



sodass

ord(a)=2 mit

so etwa ok?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Desogude
Danke. Ich hatte, das soweit schon verstanden ^_^

Ich mag immer diese altklugen Bemerkungen "hab das alles ja schon verstanden"... aber vorher jammern "ich versteh das nicht" - DAS verstehe ich nicht! unglücklich
Desogude Auf diesen Beitrag antworten »

Mein problem ist das mathematische formulieren...

und es war keineswegs eine "altkluge bemerkung" . du hast es ja schon in deiner ersten Antwort gut formuliert und ich denke ich habe es dort schon einigermaßen verstanden. kein grund sich gleich angegriffen zu fühlen Prost

ist der weg den ich eingeschlagen habe einigermaßen richtig?

oder ist dein kommentar ausdem grund enstanden, weil meine Antwort gänzlich falsch ist ?? -.-
Desogude Auf diesen Beitrag antworten »

Sei G eine endliche Gruppe und endliche Teilmengen




mit


mit

dann ist



sodass

ord(a)=2 mit

so etwa ok?

edit: sehe ich habe oben einen Fehler gemacht. Aber es scheint mir trotzdem nicht richtig...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, rein formal könnte man es so "aufblasen":

Für mit neutralem Element definiere man . Wegen ist für entweder oder . Wir können somit eine Indexmenge auswählen, so dass eine Partitionierung von ist, insbesondere ist dann .

Nun wissen wir, dass für gilt, und für alle anderen (d.h. ). Sei nun





dann folgt aus den bisherigen Erkenntnissen





und mit schließlich . Ist nun gerade, so ist ungerade und somit mindestens 1, also existiert ein und für dieses gilt .
Desogude Auf diesen Beitrag antworten »

Danke.

Und wenn man es nicht formal aufbliese, wie würde es dann aussehen? wo ist mein Denkfehler?

Ich entschuldige mich, falls ich deine nerven strapaziere...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Von welchem Denkfehler sprichst du?
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