Wurzel aus einer symmetrisch positiv definiten Matrix

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Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
Wurzel aus einer symmetrisch positiv definiten Matrix
Meine Frage:
Guten Abend. smile

Ich möchte die Wurzel einer symmetrisch positiv definiten Matrix , wobei mit positiven Eigenwerten und bestimmen und vorerst folgende Eigenschaften beweisen:
(1) Es existiert ein symmetrisches .
(2) Die Quadrate der Eigenwerte von sind die Eigenwerte von .
(3) ist eindeutig bestimmt.

Meine Ideen:
Meine Idee ist die Verwendung des Hauptachsentheorems , wobei orthogonal ist und eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten von ist. Nun jedoch weiß ich nicht, wie ich das Problem angehen soll.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wurzel aus einer symmetrisch positiv definiten Matrix
Kann mir jemand behilflich sein?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wurzel aus einer symmetrisch positiv definiten Matrix
Überlege dir, dass existiert und man es explizit angeben kann. Daraus kann man dann ein basteln.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wurzel aus einer symmetrisch positiv definiten Matrix

So würde ich die Diagonalmatrix angeben. Ist das korrekt?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wurzel aus einer symmetrisch positiv definiten Matrix
Eine der vielen Wurzeln und die "natürliche" Wahl. Kannst du raten wie aussehen könnte?
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wurzel aus einer symmetrisch positiv definiten Matrix
Zitat:
Original von IfindU
Eine der vielen Wurzeln und die "natürliche" Wahl.

Was meinst du damit? verwirrt
 
 
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wurzel aus einer symmetrisch positiv definiten Matrix
Ja, es ist eine Wurzel. So wäre aber auch z.B.
.

Diese Matrix ist aber im Gegensatz zu deiner Wahl nicht mehr positiv definit. Daher ist deine Wurzel die "natürliche" Wahl, im Gegensatz zu meiner oben, die eher künstlich ist.
Nubler Auf diesen Beitrag antworten »

und nur 2

Die Gleichung hat hingegen die 2 verschiedenen Lösungen +2 und -2.

Ich würde sagen, man muss die Aufgabenstellung noch mal zu Rate ziehen, um zu sehen, was genau verlangt/benötigt wird.

Nachtrag:

Die Aufgabenstellung in diesem Zusammenhang:
Zitat:
mit positiven Eigenwerten und


Das wird im Zusammenhang mit der letzten Teilaufgabe relevant.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

@Nubler

Die Konvention mit gibt es meines Wissens nach nur für reelle Zahlen. Schon bei komplexen Zahlen wird es unüblich und bei Matrizen ist die Existenz einer Wurzel nicht einmal gesichert. Dass W am Ende positive Eigenwerte haben soll ist eine der Gründe warum ich Lynns Wahl der Wurzel als "natürlich" angesehen habe.

Kurz: Ich verstehe den Sinn deines Posts nicht verwirrt
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wurzel aus einer symmetrisch positiv definiten Matrix
Zitat:
Original von IfindU
Kannst du raten wie aussehen könnte?


Direkt vorstellen kann ich es mir noch nicht, da ich nicht weiß, wie Q aussehen wird bzw. kann.
Kannst du mir bitte behilflich sein?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wurzel aus einer symmetrisch positiv definiten Matrix
Gehen wir mal davon aus, dass die Wurzel ebenfalls positiv definit und symmetrisch ist (ein Ansatz). Also . Wie sieht dann aus? Wie muss es aussehen, damit es gleich ist?
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wurzel aus einer symmetrisch positiv definiten Matrix
sollte ebenfalls symmetrisch sein?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wurzel aus einer symmetrisch positiv definiten Matrix
Das kannst du deutlich vereinfachen. Es ist , und nun mit Assoziativgesetz usw.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wurzel aus einer symmetrisch positiv definiten Matrix
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wurzel aus einer symmetrisch positiv definiten Matrix
Fast. Es muss D'^2 heißen. Vergleiche das mal mit der 'Diagonalisierung'. Dann sollte klar sein was man als R und D' zu wählen hat.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wurzel aus einer symmetrisch positiv definiten Matrix
Achja, die hoch 2 habe ich ganz vergessen.

D umfasst die Eigenwerte von A und R deren Eigenvektoren. Meinst du das?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wurzel aus einer symmetrisch positiv definiten Matrix
Du hast und du hast ausgerechnet, dass . Nun willst du und so bestimmen, dass . Es gibt sehr naheliegende Wahlen.
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