Wurzel aus einer symmetrisch positiv definiten Matrix |
20.11.2015, 17:26 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wurzel aus einer symmetrisch positiv definiten Matrix Guten Abend. Ich möchte die Wurzel einer symmetrisch positiv definiten Matrix , wobei mit positiven Eigenwerten und bestimmen und vorerst folgende Eigenschaften beweisen: (1) Es existiert ein symmetrisches . (2) Die Quadrate der Eigenwerte von sind die Eigenwerte von . (3) ist eindeutig bestimmt. Meine Ideen: Meine Idee ist die Verwendung des Hauptachsentheorems , wobei orthogonal ist und eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten von ist. Nun jedoch weiß ich nicht, wie ich das Problem angehen soll. |
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21.11.2015, 12:20 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Wurzel aus einer symmetrisch positiv definiten Matrix Kann mir jemand behilflich sein? |
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21.11.2015, 12:27 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Wurzel aus einer symmetrisch positiv definiten Matrix Überlege dir, dass existiert und man es explizit angeben kann. Daraus kann man dann ein basteln. |
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21.11.2015, 12:32 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Wurzel aus einer symmetrisch positiv definiten Matrix So würde ich die Diagonalmatrix angeben. Ist das korrekt? |
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21.11.2015, 13:01 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Wurzel aus einer symmetrisch positiv definiten Matrix Eine der vielen Wurzeln und die "natürliche" Wahl. Kannst du raten wie aussehen könnte? |
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21.11.2015, 13:19 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Wurzel aus einer symmetrisch positiv definiten Matrix
Was meinst du damit? |
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21.11.2015, 13:22 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Wurzel aus einer symmetrisch positiv definiten Matrix Ja, es ist eine Wurzel. So wäre aber auch z.B. . Diese Matrix ist aber im Gegensatz zu deiner Wahl nicht mehr positiv definit. Daher ist deine Wurzel die "natürliche" Wahl, im Gegensatz zu meiner oben, die eher künstlich ist. |
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21.11.2015, 13:50 | Nubler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
und nur 2 Die Gleichung hat hingegen die 2 verschiedenen Lösungen +2 und -2. Ich würde sagen, man muss die Aufgabenstellung noch mal zu Rate ziehen, um zu sehen, was genau verlangt/benötigt wird. Nachtrag: Die Aufgabenstellung in diesem Zusammenhang:
Das wird im Zusammenhang mit der letzten Teilaufgabe relevant. |
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21.11.2015, 15:03 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Nubler Die Konvention mit gibt es meines Wissens nach nur für reelle Zahlen. Schon bei komplexen Zahlen wird es unüblich und bei Matrizen ist die Existenz einer Wurzel nicht einmal gesichert. Dass W am Ende positive Eigenwerte haben soll ist eine der Gründe warum ich Lynns Wahl der Wurzel als "natürlich" angesehen habe. Kurz: Ich verstehe den Sinn deines Posts nicht |
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22.11.2015, 13:51 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Wurzel aus einer symmetrisch positiv definiten Matrix
Direkt vorstellen kann ich es mir noch nicht, da ich nicht weiß, wie Q aussehen wird bzw. kann. Kannst du mir bitte behilflich sein? |
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22.11.2015, 14:59 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Wurzel aus einer symmetrisch positiv definiten Matrix Gehen wir mal davon aus, dass die Wurzel ebenfalls positiv definit und symmetrisch ist (ein Ansatz). Also . Wie sieht dann aus? Wie muss es aussehen, damit es gleich ist? |
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22.11.2015, 17:48 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Wurzel aus einer symmetrisch positiv definiten Matrix sollte ebenfalls symmetrisch sein? |
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22.11.2015, 18:01 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Wurzel aus einer symmetrisch positiv definiten Matrix Das kannst du deutlich vereinfachen. Es ist , und nun mit Assoziativgesetz usw. |
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22.11.2015, 18:26 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Wurzel aus einer symmetrisch positiv definiten Matrix |
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22.11.2015, 19:53 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Wurzel aus einer symmetrisch positiv definiten Matrix Fast. Es muss D'^2 heißen. Vergleiche das mal mit der 'Diagonalisierung'. Dann sollte klar sein was man als R und D' zu wählen hat. |
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22.11.2015, 20:13 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Wurzel aus einer symmetrisch positiv definiten Matrix Achja, die hoch 2 habe ich ganz vergessen. D umfasst die Eigenwerte von A und R deren Eigenvektoren. Meinst du das? |
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23.11.2015, 10:31 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Wurzel aus einer symmetrisch positiv definiten Matrix Du hast und du hast ausgerechnet, dass . Nun willst du und so bestimmen, dass . Es gibt sehr naheliegende Wahlen. |
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