Konvergenzradius, x verschwindet nicht

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Kracker Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzradius, x verschwindet nicht
Hallo, erstmal ich bin neu hier und hab schon über google öfters hier rein gefunden, und bemerkt dass das in super Forum is Big Laugh

Nun zu mienem Problem:

Wenn ich mir den Konvergenzradius zu einer Reihe ausrechnen will, dann komme ich auf 1/x. Das ist ja nur schlecht ein annehmbarer Wert. Also hier was ich gerechnet habe:



Dann hab ich mit Quotientenkriterium gerechnet (hab mit Wurzelkrit auch das gleihce bekommen):











Mach ich was falsch oder muss ich da jetzt noch weiter rechnen?

Wenns geht bitte möglichst allgemein erklären was falsch ist, weil ich dasselbe Problem auch bei anderen Aufgaben habe..


PS: ich hab mir mit der Formatierung echt mühe gegeben, aber ich mach das zum ersten mal..

Danke schon mal im Vorraus Big Laugh
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

zu Beginn ein Zitat von HAL 9000 aus diesem Thread.

Zitat:
Original von HAL 9000
Zunächst mal: Viele Leute verwechseln die Begriffe "Quotientenkriterium" und "Wurzelkriterium" von normalen Reihen mit ähnlich aussehenden Formeln für den Konvergenzradius von Potenzreihen .

Wenn ich so deinen Eröffnungsbeitrag lese, dann sieht es so aus, als wäre das auch dein Problem. Geh nochmal in dich, und versuch das sauber zu trennen!


Das scheint bei dir auch passiert zu sein. Mit Hilfe dieser Information solltest du dich jetzt noch einmal auf die Suche in deinem Skript nach der richtigen Formel machen.

Dabei führen beide Formeln zum Ziel, man darf nur nicht die eine Formel verwenden und dann die Interpretation der anderen anwenden.
Kracker Auf diesen Beitrag antworten »

Also im Script steht das bei uns so

[attach]39817[/attach]

Das hat mir aber nicht wirklich weiter geholfen, weil ich da garnicht durchblick.

hab dann auf wikipedia geschaut und da is eben die Formel gekommen die ich verwendet hab.

Soll man da das x weg lassen und sich nur die Koeffizienten ansehen? Ich hab mir das alles durchgelesen aber ich kapiers nciht verwirrt

achja und mit Wurzelkriterium meinte ich das Chauchy-Hadamar Kriterium.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Das, was bei dir im Skript steht, ist ein Beispiel, nicht das Kriterium selbst.

Und ja, der Term taucht in den Kriterien zur Bestimmung des Konvergenzradius nicht auf.
Kracker Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das ist ein Beispiel, aber da steht das x ja auch noch drin...

Muss ich dann ganz einfach das x los werden, also weg lassen, oder wie? Ich find nämlich sonst nix..
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Guppi hat dich da verwirrt. Wenn man das Quotienten- oder Wurzelkriterium auf Potenzreihen anwendet, bleibt die Variable (bei dir x) natürlich stehen. Nur deshalb kann man ja einen Konvergenzradius ausrechnen. Du hast nur gerade den Kehrwert dessen gebildet, was im Kriterium steht. Wenn du das in deinem Anfangsbeitrag korrigierst, siehst du sofort den Konvergenzradius.
 
 
Kracker Auf diesen Beitrag antworten »

Aber die Variable muss doch verschwinden oder?

Ja ich habe das Kriterium gleivh umgedreht, weil ja 1/r das Quotientenkriterium ist. Hab mir ja nur ne Zeile gespart.

Kannst du mir vielleicht die richtige Formel zeigen wie man es richtig rechnet? (Auch mit was genau an ist) denn das verwirrt mich echt alles..
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, die Variable kann gar nicht verschwinden. Du bildest beim Quotientenkritrium



Das ergibt bei deinem Beispiel



Die Reihe konvergiert, wenn es ein gibt, sodass für fast alle gilt



Für welche gib es nun ein solches mit



für fast alle ? Die Frage ist leicht zu beantworten. Der Konvergenzradius ist dann die Obergrenze dieser .
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzradius, x verschwindet nicht
Oder man erkennt (und darauf wies schon Guppi12 hin), daß die Reihe eine Potenzreihe der Form ist. Falls die a_n bis auf endlich viele Ausnahmen ungleich Null sind, gilt für den Konvergenzradius r:


smile
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzradius, x verschwindet nicht
@ Klarsoweit
Das ist richtig, aber zusammen mit meinem Beitrag verwirrend, da wir mit unterschiedliche Dinge bezeichnen. Bei mir sind die die Reihenglieder, wie sie im allgemeinen Quotientenkriterium stehen, die bei einer Potenzreihe auch die Potenz einschließen. Bei dir sind sie aber nur die Koeffizienten der Potenzen.

Der Fragesteller hat sich in seinem Eröffnungsbeitrag auf meine Variante bezogen. Wenn man dann unter den nur die Koeffizienten der Potenzen verstehen will, sollte man auf den Unterschied hinweisen, sonst entsteht Tohuwabohu.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzradius, x verschwindet nicht
Zitat:
Original von Huggy
Das ist richtig, aber zusammen mit meinem Beitrag verwirrend,
...
Wenn man dann unter den nur die Koeffizienten der Potenzen verstehen will, sollte man auf den Unterschied hinweisen, sonst entsteht Tohuwabohu.

Ich sehe nicht, daß mein Beitrag Verwirrung stiftet. Denn mit der Einleitung "Oder man erkennt ..." sowie mit der klaren Nennung, auf welche Form einer Reihe ich mich beziehe, sollte klar werden, daß es sich um etwas anderes handelt.

Außerdem wird ja auch mit der Frage von Kracker "Kannst du mir vielleicht die richtige Formel zeigen wie man es richtig rechnet? (Auch mit was genau an ist) denn das verwirrt mich echt alles.." deutlich, daß er durchaus unterschiedliche Behandlungsweisen gesehen hat, aber diese noch nicht richtig einordnen kann.
Kracker Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist die Antwort dann:

|x| \leq \frac{a_{n+1} }{a_{n} }

wenn ich deine Ungleichung umforme? Also für alle Betrag von x gibt es dann ein solches q das kleiner als 1 ist. Und das ist dann der Radius? Es sollte nämlich 1 rauskommen...

@klarsoweit

ah ok, also ist es doch so, dass diese an nur die Koeffizienten sind. Genau das hat mich so verwirrt. Dann kommt ja auch ganz klar 1 dabei raus.

Auf jedenfall schon mal vielen dank euch allen smile
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzradius, x verschwindet nicht
Wie schon gesagt - und ich wiederhole es nochmal ganz deutlich: es kommt darauf an, wie du das a_n definierst.

Wenn du die Potenzreihe betrachtest, dann hast du 2 Möglichkeiten:

1. du definierst a_n := b_n und es gilt alles, was ich in meinem vorigen Beitrag gesagt habe.

2. du definierst und wendest ganz normal das Quotientenkriterium an, indem du bildest. Da für Konvergenz der Grenzwert kleiner als 1 sein mußt, bekommst du eine Bedingung für |x - x_0| .
Kracker Auf diesen Beitrag antworten »

ok hab das jetzt verstanden danke! Big Laugh

Noch zu nem anderen beispiel:

[attach]39856[/attach]
sorry is bisschen abgeschnitten, geht natürlich nach Unendlich die Reihe

ich hab dann:



Soviel mal zur Potenzreihe, bzw. muss ich dann nochmal summieren? Weil ich hab gehört das man das nochmal summieren muss, würde auch Sinn ergeben oder weil hier ja nur einmal für jedes n summiert wird.

Sonst hätte ich halt auch:



und somit einen Radius für:

x \leq q < 1

?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kracker
ich hab dann:



Zum einen ist das Ergebnis falsch, zum anderen ist der Schritt völlig überflüssig. Mit etwas Potenzregeln erhält man direkt . smile
Jetzt mußt du nur noch bilden.

Zitat:
Original von Kracker
muss ich dann nochmal summieren? Weil ich hab gehört das man das nochmal summieren muss, würde auch Sinn ergeben oder weil hier ja nur einmal für jedes n summiert wird.

Selbstverständlich mußt du die c_n summieren, denn das Cauchy-Produkt besagt:

mit
Kracker Auf diesen Beitrag antworten »

Ok ich hatte heute die Übung dazu, weiß jetzt wies geht..







vielen Dank für eure Hilfe smile
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kracker


Korrekt ist . smile
Kracker Auf diesen Beitrag antworten »

ah ups tippfehler^^ Hammer
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