Konvergenz von Reihen

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21.11.2015, 16:52	hermann1337	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von Reihen Ich habe hier 2 Reihen bei denen ich auf Konvergenz prüfen soll. Bin mir allerdings nicht ganz sicher, ob mein Vorgehen so richtig ist. Die erste Reihe: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{\infty } \sqrt{\frac{2}{k} } \end{eqnarray}$ Hier sage ich, dass sie konvergiert, da die Folge: $\begin{eqnarray} a_{k} = \sqrt{\frac{2}{k}} \end{eqnarray}$ für k gegen unendlich gegen 0 strebt. Die zweite Reihe: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{k} \left(\frac{5}{6}\right)^{k}\sqrt{k} \end{eqnarray*}$ 1. Ansatz: Wenn ich die Reihe nun auf teile bekomme ich mit dem Wurzelkriterium für (5/6)^k raus, dass (5/6)<1. Also Konvergenz. Die Wurzel divergiert. Der Grenzwert wäre, dass die Reihe gegen unendlich geht. 2. Ansatz: Wenn ich jedoch k einfach gegen unendlich laufen lasse in dieser Reihe, geht der Bruch gegen 0 und die Wurzel gegen unendlich. Wäre nett, wenn mich jemand auf die richtige Bahn schuppst!
22.11.2015, 10:13	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz von Reihen Zur ersten Reihe: Dass die Folge eine Nullfolge ist, ist nur ein notwendiges, kein hinreichendes Kriterium. Das bedeutet: wenn die Folge keine Nullfolge ist, dann konvergiert die Reihe sicher nicht. Wenn die Folge aber eine Nullfolge ist, dann muss die Reihe deswegen noch lange nicht konvergieren. In deinem Fall ist die Reihe auch divergent Ich schätze, ihr habt die Divergenz der harmonischen Reihe bereits bewiesen? Wenn ja, dann würde ich für deine Reihe das Minorantenkriterium bemühen Zur zweiten Reihe: Das Wurzelkriterium kannst du nicht einfach so auf getrennte Faktoren anwenden, das muss über den gesamten Ausdruck - ich halte in diesem Fall aber ohnehin das Quotientenkriterium für die bessere Wahl Lg kgV
22.11.2015, 12:50	hermann1337	Auf diesen Beitrag antworten »
Als Vergleichsreihe(ja hier steht eine Vergleichsfolge^^) nehme ich dann also $\begin{eqnarray} b_{k}= \sqrt{2/k^{2} } \end{eqnarray}$ Damit wäre $\begin{eqnarray} a_{k}\geq b_{k} \end{eqnarray}$ , da die Glieder der Vergleichsfolge bei Werten größer 1 schneller gegen null gehen. Damit habe ich dann Divergenz nachgewiesen. Ist meine Erklärung dazu korrekt?
22.11.2015, 13:03	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde eher $\begin{eqnarray} \frac2{\sqrt{k^2}}=\frac2k \end{eqnarray}$ nehmen Aber die Argumentation passt, ja Noch auf die harmonische Reihe verweisen und fertig Und wie sieht es bei der zweiten Reihe aus?
22.11.2015, 13:15	hermann1337	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen lieben Dank! Ich habe es jetzt mit deiner Reihe gemacht, ist nochmal etwas schöner gelöst. Für die 2. Reihe nehme ich $\begin{eqnarray} a_{k+1} = \left(\frac{5}{6} \right) ^{k+1} \sqrt{k+1} \end{eqnarray*}$ um damit das Quotientenkriterium zu nutzen. Das werde ich jetzt mal auflösen.
22.11.2015, 13:24	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Klingt gut
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22.11.2015, 13:53	hermann1337	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bekomme dann raus $\begin{eqnarray} \frac{a_{k+1}}{a_{k}} = \left(\frac{5}{6} \right) \frac{\sqrt{k+1} }{\sqrt{k} } \end{eqnarray}$ wenn nun k gegen unendlich geht, bekomme ich für den Wurzelteil 1 raus und habe damit $\begin{eqnarray} \frac{5}{6} < 1 \end{eqnarray}$ Somit divergiert die 2. Reihe schonmal nicht. Da stehe ich schon wieder auf dem Schlauch. Habe das Ganze noch mal mit dem Wurzelkriterium angeschaut. und komme damit auf $\begin{eqnarray} \frac{5}{6}* \sqrt[2k]{k} \end{eqnarray*}$ das bedeutet die reihe läuft gegen 10/6 >1 damit würde die reihe divergieren...
22.11.2015, 14:02	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Da solltest du dir die Aussage des Quotientenkriteriums noch mal genau anschauen. Das sagt nämlich, wenn $\begin{eqnarray} \lim_{k\to\infty}\left\|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right\|=q<1 \end{eqnarray}$ erfüllt ist, dann konverigert die Reihe. Damit bist du schon fertig
22.11.2015, 14:05	hermann1337	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah Mist, da habe ich die Augen nicht richtig aufgemacht Danke für deine Hilfe! Werde mir dazu jetzt eine Strategie aufschreiben
22.11.2015, 14:06	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Gern geschehen Viel Erfolg weiterhin
22.11.2015, 15:58	hermann1337	Auf diesen Beitrag antworten »
Wegen meiner Unsicherheit beim Thema Reihen frage ich jetzt doch noch mal für eine weitere Aufgabe nach. Ich soll folgende Reihe berechnen: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{1}{k} - \frac{1}{k+2} \end{eqnarray}$ Als Tipp steht hier dabei, dass ich Partialsummen s5,s6,s7 ausrechnen soll, um eine Formel für diese zu erkennen. Habe ich gemacht und bin damit auf folgendes gekommen. $\begin{eqnarray} a_{k+1} = \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+3} \end{eqnarray}$ Hier habe ich wieder das Quotientenkriterium angewendet und bin nach umstellen von $\begin{eqnarray} \frac{a_{k+1}}{a_{k}} \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \frac{k^{2}+ 2k }{k^{2}+4k+3 } \end{eqnarray}$ gekommen. Wenn ich dies nun durch n² teile, geht ein großteil gegen null und ich bekomme 1 raus. Bin mir jetzt unsicher, ob das die Intention der Aufgabe gewesen ist^^
22.11.2015, 17:59	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ging nicht um die $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ , sondern um die $\begin{eqnarray} S_n:=\sum_{i=1}^na_i \end{eqnarray}$ , also die Summe der ersten n Glieder. Da solltest du dann nämlich eine Teleskopreihe erkennen. Die hat nämlich einen sehr einfach zu bestimmenden Wert
22.11.2015, 19:36	hermann1337	Auf diesen Beitrag antworten »
ah interessant^^ ist grade wie rätsel lösen. das ist echt tricky... habe das ganze mal bis k=9 aufgeschrieben. ab k=3 kommt nichts mehr dazu, da das glied k=3 z.b. durch k=n-2 undk=n+2 auf null summiert. ich weis um was es hier geht, aber welche vereinfachte reihe ich dadurch sehen soll, erschliesst sich mir nicht.
22.11.2015, 19:43	hermann1337	Auf diesen Beitrag antworten »
Da kommt doch gar keine Reihe raus oder? Da die Reihe ab k=3 bis unendlich alles wegsummiert. Also kommt da einfach nur 3/2 raus! EDIT: Vielen Dank nochmal! Du hast mich echt stark geholfen das Thema besser zu verstehen!
22.11.2015, 20:27	nestea1	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo hermann1337, hast du die Aufgaben nun gelöst ? Habe hier die selben Aufgaben vor mir liegen, und trotz eurer Beschreibungen, verstehe ich nicht so Recht was ich machen soll ! Wäre echt bombe, wenn du die Lösungen von den ersten 2 Aufgaben reinstellen könntest Gruß !
23.11.2015, 11:47	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
@hermann1337: Genau Die unendliche Reihe lässt sich im Wesentlichen als endliche Summe beschreiben. Damit konvergiert sie insbeondere. Freut mich, wenn ich helfen konnte @nestea1: wenn du beschreiben willst, wo deine Probleme liegen, dann kann ich dir gerne weiterhelfen, Lösungen wirst du hier nicht eingestellt bekommen (vgl unser Prinzip)

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