Basis von Unterraum |
| 22.11.2015, 13:38 | annaswt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Basis von Unterraum Betrachte die folgenden Vektoren Sei U der von diesen Vektoren erzeugte Unterraum. Bestimme eine Basis und die Dimension von U in den Fällen K = F2 und K = F3 Meine Ideen: Ich muss doch zunächst die lineare Unabhängigkeit prüfen mit: Dazu kann ich folgendes Gleichungssystem aufstellen: wie ich das allerdings löse fehlt mir gänzlich. Ich weiß, dass auch nur 3 davon linear unabhängig sind können und diese dann den Unterraum erzeugen. Die Dimension würde doch dann der Anzahl der linear unabhängigen Vektoren entsprechen oder? Bitte helft mir 
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| 22.11.2015, 13:54 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gauß-Verfahren ist Dir doch sicherlich ein Begriff. Du darfst dabei nur nicht vergessen, in welchem Körper Du dich bewegst. |
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| 22.11.2015, 14:25 | annaswt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok dabei bekomme ich heraus: r=s=t=u=0 Stimmt das soweit oder was muss ich beachten wenn ich in K4 arbeite. |
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| 22.11.2015, 14:39 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn das deine Lösung ist, dann hast Du meinen Hinweis mit dem Körper nicht beachtet, sondern stur in oder gelöst. Bedenke, dass Du im nirgends durch eine gerade Zahl teilen darfst. |
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| 22.11.2015, 15:00 | annaswt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
habe ich doch auch nicht. 
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| 22.11.2015, 15:06 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann müsstest Du aber etwas anderes herausbekommen. Leider kann ich nicht hellsehen, welche Schritte Du unternommen hast, aber ich bin mir 100% sicher, dass Du irgendeine Zeile mit einer geraden Zahl multipliziert oder dividiert hast. Spätestens im letzten Schritt 
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| 22.11.2015, 15:33 | annaswt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
0 1 0 1 | 0 0 0 1 1 | 0 Ich tausche die 1. und 4 Zeile sowie die 2. und 3. miteinander 0 1 1 0 | 0 1 0 1 1 | 0 ~ ( die Nullen lasse ich kurz weg) 1 0 1 1 0 1 1 0 Und ziehe ich die 2. von der 4. Zeile 0 0 1 1 0 1 0 1 ~ 1 0 1 1 0 1 1 0 nun ziehe ich die 3. von der 4. ab 0 0 1 1 0 0 -1 1 -> 0 0 1 1 ~ 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 2 -> 0 0 0 0 -> r + t + u =0 -> u=-t-r s + t = 0 -> s=-t t + u = 0 -> t =-u Wie mache ich da jetzt weiter |
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| 22.11.2015, 17:15 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Drei Gleichungen, vier Unbekannte also ist eine frei wählbar und die restlichen ergeben sich daraus. |
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| 22.11.2015, 19:09 | annaswt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wie frei wählbar? |
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| 22.11.2015, 19:34 | annaswt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
meinst du das so? r+t+u=0 -> r=-t-u, r=u-u, r=0 s+t=0 -> s= -t , s=u t+u=0 -> t= -u, u=-t |
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| 22.11.2015, 19:34 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nehmen wir mal an, Du hättest die Gleichung y=2x und sollst alle Werte (x,y) bestimmen, für die die Gleichung gilt. Dann hast Du eine Gleichung, aber zwei Unbekannte. Es "fehlt" also eine Bedingung, um eine eindeutige Lösung zu bekommen. Das bedeutet, dass einer der beiden Parameter frei wählbar ist. Sucht man nur eine Lösung, kann man sich irgendeinen Wert aussuchen (z.B. x=2) und erhält dann wiederum eine eindeutige Lösung (Hier y=4). Sucht man aber alle Lösungen, so wird statt eines konkreten Wertes ein Parameter eingeführt (im obigen Beispiel x=t), was dazu führt, dass auch y von diesem Parameter abhängt (nämlich y=2t). Die allgemeine Lösung wäre also x=t und y=2t. Entsprechendes musst Du bei deinem GLS machen, nur dass es halt vier Variablen sind. Eine (welche in Frage kommen, erkennst Du an der Stufenform) kannst Du mit einem Parameter besetzen, der Rest ergibt sich dann daraus. EDIT (zeitgleiches Posting): ja, das ist gemeint. Wobei man im F_2 die Lösungen durchaus aufzählen kann, da es ja nur endlich viele sind. |
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| 22.11.2015, 19:45 | annaswt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, also: a=0 Wähle ich b=1: für c=1 ja dann das gleiche oder? b=d=1 c=-1 (wobei -1 ja wieder 1 wäre oder?) Wähle b=0 b=d=0 c=0 Sind dass alle? |
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| 22.11.2015, 20:04 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das sind schon alle, richtig. Was bedeutet das nun für die Ausgangsfrage nach der Dimension bzw. einer Basis? |
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| 22.11.2015, 20:27 | annaswt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was sagt mir das jetzt über die Unabhängigkeit aus? |
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| 22.11.2015, 20:38 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wieviel Lösungen hat denn das GLS? Wieviel müssten es bei linearer Unabhängigkeit sein? |
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| 22.11.2015, 20:56 | annaswt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
2 ? |
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| 22.11.2015, 22:08 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, es gibt zwei Lösungen (Hast Du ja gefunden) und bei linearer Unabhängigkeit gibt es nur die triviale Lösung, also eine. Das bedeutet, dass die Vektoren über linear abhängig sind. |
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| 23.11.2015, 10:51 | Annswt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok aber ich soll ja welche finden die linear unabhängig sind. Also kann ich mir bspw nur 3 nehmen, die dann linear unabhängig sind? |
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| 23.11.2015, 13:19 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn du die richtigen drei nimmst, dann ja. Drei beliebige gehen nicht. |
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| 23.11.2015, 19:26 | annaswt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und woher weißt ich welche |
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| 23.11.2015, 20:03 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du hast noch nie das Gauß-Verfahren zur Bestimmung einer Basis durchgeführt? Die letzte Zeile ist eine Nullzeile, also welcher Vektor lässt sich auf jeden Fall durch die andere nicht ausdrücken? |
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