Gleichung einer Ebene in R3

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paulchenpanther Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichung einer Ebene in R3
Meine Frage:
Hallo ich bitte um eure Hilfe!

Zeige: Jede Gleichung n1x+n2y+n3z=c mit (n1/n2/n3) ungleich (0/0/0) ist Gleichung einer Ebene im R3 mit Normalvektor n=(n1/n2/n3)

Meine Ideen:
Ich bin nicht gut in der kompletten Vektorrechnung deswegen hab ich leider keine Ahnung wie ich hier anfangen soll.
Bürgi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichung einer Ebene in R3
Guten Abend,

die Variable c repräsentiert eine reelle Zahl, ist also ein Skalar.
Du kannst Dir überlegen, dass c das Ergebnis eines Skalarprodukts zweier Vektoren ist. Der Vektor wird mit dem Ortsvektor des Punktes P(r / s / t) multipliziert:



Deine Gleichung sieht jetzt so aus:



Nur noch die blaue Gleichung bearbeiten: Jetzt alles auf die linke Seite der Gleichung bringen, den Normalenvektor ausklammern und die so entstandene Gleichung richtig interpretieren.
 
 
paulchenpanther Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichung einer Ebene in R3
Hallo, danke für deine Hilfe!

Also meinst du, dass ich dann habe:
n1x+n2y+n3z-n1r-n2s-n3t=0
Bürgi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichung einer Ebene in R3
Guten Morgen,

nicht ganz. Deine Gleichung stimmt zwar, aber viel anfangen kannst Du damit nicht.
Was ich meinte, sieht so aus:



Woraus dann folgt (vgl. meine Anweisung in meiner vorhergehenden Nachricht)



Und nun überlege, was es bedeutet, wenn ein Skalarprodukt null ist, was das dann für die beiden (!) beteiligten Vektoren bedeutet, ...
paulchenpanther Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichung einer Ebene in R3
Hallo

Na wenn das skalarprodukt null ist gilt doch dass die zwei vektoren normal aufeinander stehen oder?
Bürgi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichung einer Ebene in R3
Hallo,

das stimmt. Freude

  1. Welche Eigenschaft hat der Punkt P(r / s / t)?
  2. Welche Eigenschaft hat der Punkt ?
  3. Welche Eigenschaft hat dann der Vektor ?
  4. ...und was hat das mit der Fragestellung Deiner Aufgabe zu tun?
paulchenpanther Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichung einer Ebene in R3
Hallo smile
Da weiß ich leider keine antworten darauf
Bürgi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichung einer Ebene in R3
Guten Abend,

das ist wirklich schade traurig

1. Wenn der Ortsvektor des Punktes P ist, dann hatten wir ganz zu Anfang festgesetzt, dass



gilt, d.h., der Punkt P liegt in der Ebene.

2. Wenn der Ortsvektor des Punktes X ist, dann stellt



den Verbindungsvektor von P nach X dar.

Das Produkt aus Verbindungsvektor und Normalenvektor ist null. Wo befindet sich zwangsläufig der Verbindungsvektor und was bedeutet das für alle Punkte X, die diese Bedingung erfüllen?
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