Es ex. n x n - Matrix mit reellen Einträgen ohne Eigenvektoren, wenn n gerade

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friggonaut Auf diesen Beitrag antworten »
Es ex. n x n - Matrix mit reellen Einträgen ohne Eigenvektoren, wenn n gerade
Hallo,

meine Frage ist: Wieso existiert für jedes n aus den natürlichen Zahlen eine n x n - Matrix ohne Eigenvektoren, wenn n gerade ist?

Für n=2 ist mir das klar, da ja
nur komplexe Eigenwerte besitzt, zumal das charakteristische Polynom wie folgt aussieht:

Die Diskriminante dieses Polynoms ist negativ. Es gibt also keine reellen Lösungen für die Gleichung . Folglich gibt es keine (reellen) Eigenwerte und somit auch keine Eigenvektoren.

Aber wie sieht es bei n=4 aus, oder bei n= 2044 ? Wie kann man den n=2-Fall verallgemeinern? Hat jemand vielleicht einen Lösungsansatz für mich? Das wäre sehr nett. Gott
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RE: Es ex. n x n - Matrix mit reellen Einträgen ohne Eigenvektoren, wenn n gerade
Zu jedem Polynom p gibt es eine Matrix, deren charakteristisches Polynom p ist.

Die Aussage ist übrigens falsch, wenn man komplexe Eigenwerte zulässt. Also braucht man noch ein Polynom ohne reelle Nullstelle.
 
 
friggonaut Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Es ex. n x n - Matrix mit reellen Einträgen ohne Eigenvektoren, wenn n gerade
Zitat:
Zu jedem Polynom p gibt es eine Matrix, deren charakteristisches Polynom p ist.
Wie beweist man das?
Nehmen wir mal an, das stimmt. Dann ist jedes Polynom char. Polynom irgend einer Matrix. Ich bau mir also ein Polynom n-ten Grades, welches keine reellen Nullstellen hat (z.B. x^4+1 für n=4). Ich weiß ja, dass das char. Polynom meiner n x n - Matrix vom Grade n ist. D.h. x^4+1 ist charakt. Polynom einer 4 x 4 Matrix, oder? Damit hätte ich es ja schon. Müsste es nur für den allgemeinen Fall notieren.

Zitat:
Die Aussage ist übrigens falsch, wenn man komplexe Eigenwerte zulässt.
Ich dachte das wäre bereits ausgeschlossen, wenn die Matrix nur reelle Einträge hat. Aber ja: genau das meine ich: komplexe Eigenwerte sollen ausgeschlossen sein.
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RE: Es ex. n x n - Matrix mit reellen Einträgen ohne Eigenvektoren, wenn n gerade
Die Matrix heißt Begleitmatrix des normierten (das hatte ich vergessen) Polynoms. Den Beweis erbringt man durch Entwicklung der Determinanten nach der letzen Spalte.

Jede reelle Matrix hat komplexe Eigenwerte - manchmal haben sie alle Imginärteil Null Augenzwinkern

Ist dir übrigens klar, warum das für ungerade n nicht funktioniert?
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