Beweise, dass S ein vollst. Repräsentantensystem von Z bzgl. Äquivalenzrelation ist

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23.11.2015, 10:36	dh2005	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweise, dass S ein vollst. Repräsentantensystem von Z bzgl. Äquivalenzrelation ist Meine Frage: Ich habe eín Bild der Aufgabenstellung hochgeladen um schonmal eine falsche Wiedergabe meinerseits auszuschließen. Also Aufgabe s. Bild. Meine Ideen: Ich habe vor allem Probleme damit mir klar zu machen was genau ich tun soll. Den Text kann ich nachvollziehen und habe mir auch schon klargemacht was genau eine Äquivalenzrelation ist, aber ich habe absolut keine Idee wie ich mithilfe der Division mit Rest zeigen soll das es ein vollst. Repräsentantensystem ist.. Daher verstehe ich auch die zweite Teilaufgabe von (i) nicht..
23.11.2015, 13:09	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} n-l\in m\mathbb Z\Leftrightarrow m\|(n-l)\Leftrightarrow \exists k : mk=n-l\Leftrightarrow \exists k : n=mk+l \end{eqnarray}$ Daraus sieht man, dass $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} l \end{eqnarray}$ denselben Rest bei der Division durch $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ lassen, genau dann wenn sie in derselben Äauivalenzklasse liegen. Diese Klassen heißen deswegen auch Restklassen modulo $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ .
23.11.2015, 13:18	dh2005	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay. Und bei (ii)? Reicht es dort zu sagen das z.B. d,n>1 ex, so dass gilt $\begin{eqnarray} \left[d\right] \left[n\right] = \left[m\right] \end{eqnarray}$ ? Damit wäre ja ein nullteiler gefunden. Oder muss ich diese noch weiter bestimmen?
23.11.2015, 14:28	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Weiter bestimmen geht nicht, da m eine allgemeine ganze Zahl ist. Ist klar, dass und warum nun $\begin{eqnarray} \mathbb Z/m\mathbb Z \end{eqnarray}$ kein Körper ist ? Was ist mit m=0 und m=1 ? Hast Du schon $\begin{eqnarray} [99]^{99} mod\; 5 \end{eqnarray}$ berechnet ?
23.11.2015, 14:41	dh2005	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das ist alles klar und schon gelöst. Wäre es okay, wenn ich dir eine pn schreibe bezüglich einer anderen Aufgabe? Ist nur eine kleine Teilaufgabe deswegen lohnt sich ein neues Thema eher nicht..
23.11.2015, 14:47	dh2005	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier mal der Link zu der Aufgabe die ich danach noch lösen muss falls jmd mir auch da helfen würde, wäre das sehr nett Problem mit Ringen, Abbildungen und Verknüpfungen.
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26.11.2015, 15:07	Shotokan	Auf diesen Beitrag antworten »
Könnte mir jemand die (i) und (ii) etwas ausführlicher erklären? Verstehe eure Erklärungen, aber habe Probleme das ausführlich aufzuschreiben. Vielen Dank im Vorraus.
26.11.2015, 18:26	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Was genau willst Du wissen ? Kann es sein, dass Du gar nichts verstanden hast, oder willst Du ein oder zwei spezielle Punkte erklärt haben (welche ?) ? In jedem Fall musst Du auch etwas beitragen, sonst kann ich hier stundenlang schreiben, ohne dass Du etwas verstehst.
26.11.2015, 19:04	Shotokan	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die schnelle Antwort. Ich hab zum Beispiel sehr große Probleme zz, dass wenn Zm nicht nullteilerfrei ist, dann ist m keine Primzahl. Naja, muss mich dransetzen und wohl paar Sachen nachholen. Edit: Okay, hat sich erledigt! Hab paar Ansätze, die mir geholfen haben! Danke!
26.11.2015, 19:23	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst einmal solltest Du bitte nicht Zm schreiben denn es geht hier um den Restklassenring $\begin{eqnarray} (\mathbb Z/m\mathbb Z,+,\cdot) \end{eqnarray}$ . Für jede Primzahl $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \mathbb F_p=\mathbb Z/p\mathbb Z \end{eqnarray}$ ein Körper mit $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ Elementen, die 0-Klasse [0] ist offensichtlich das neutrale Element der Addition und die 1-Klasse [1] das neutrale Element der Multiplikation . Ein Körper hat keine Nullteiler (warum ?), also ist deine Frage damit beantwortet. ( $\begin{eqnarray} m=p \end{eqnarray}$ Primzahl $\begin{eqnarray} \Rightarrow \mathbb F_p \end{eqnarray}$ Körper $\begin{eqnarray} \Rightarrow \mathbb Z/m\mathbb Z \end{eqnarray}$ nullteilerfrei ) $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow (\mathbb Z/m\mathbb Z \end{eqnarray}$ nicht nullteilerfrei $\begin{eqnarray} \Rightarrow m \end{eqnarray}$ keine Primzahl) . Du siehst, konkrete Fragen kann man konkret beantworten. In der Aufgabe sollte übrigens die Umkehrung bewiesen werden, nämlich : $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ keine Primzahl $\begin{eqnarray} \Rightarrow Z/m\mathbb Z \end{eqnarray}$ kein Körper . Und der Beweis geht über Nullteiler $\begin{eqnarray} [a],[b] \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} m=ab, a>1,b>1 \end{eqnarray}$ .

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