Chinesischer Restsatz nicht teilerfremd

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24.11.2015, 19:53	UKF	Auf diesen Beitrag antworten »
Chinesischer Restsatz nicht teilerfremd Meine Frage: Folgende Aufgabe ist geben: $\begin{eqnarray} x\equiv1\mod108 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x\equiv25\mod80 \end{eqnarray}$ Geben Sie alle Lösungen $\begin{eqnarray} L \subset Z \end{eqnarray}$ an. Meine Ideen: Soweit so gut. Klar ist normal löst man simultane Kongruenzen mittels des chinesischen Restsatzes. Das kann man aber nur solange die Moduln teilerfremd sind. Ansonsten muss man das System umstellen. Da kommen wir schon zur ersten Frage. Wie stelle ich ein System um. Habe mir einiges Durchgelesen und viele Sprachen von einer Primfaktorzerlegung. Gelesen, durchgeführt. 108 = 2^2 + 3^3 80 = 2^4+5^1 Nun der Schritt daraus sich die ergebenden Moduln zu bilden ist mir ein Rätsel.
24.11.2015, 21:10	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein System sollte identisch dazu sein: $\begin{eqnarray} x\equiv0\mod5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\equiv9\mod16 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\equiv1\mod27 \end{eqnarray}$ PS: Willkommen im Matheboard!
24.11.2015, 21:54	UKF	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort. Wie komme ich auf meine drei Konkurrenzen ?
24.11.2015, 22:19	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Von Konkurrenz kann hier wohl keine Rede sein - du meinst eher Kongruenz. Du hast die Antwort doch selber gegeben: Es ist: $\begin{eqnarray} 108=4\cdot27 \end{eqnarray}$ Somit können wir $\begin{eqnarray} x\equiv1\mod108 \end{eqnarray}$ umschreiben zu: $\begin{eqnarray} x\equiv1\mod4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\equiv1\mod27 \end{eqnarray}$ Zudem ist: $\begin{eqnarray} 80=5\cdot16 \end{eqnarray}$ Damit können wir $\begin{eqnarray} x\equiv25\mod80 \end{eqnarray}$ umschreiben zu: $\begin{eqnarray} x\equiv0\mod5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\equiv9\mod16 \end{eqnarray}$
25.11.2015, 07:40	UKF	Auf diesen Beitrag antworten »
Kongruenz meint ich ja Ok. Wie ich den modulo bestimme ist jetzt klar. Jedoch die Zahl vor dem Modulo wie ensteht diese. Musterbeispiel wäre hier dann: $\begin{eqnarray} x \equiv 9 mod 16 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} x \equiv 0 mod 5 \end{eqnarray}$
25.11.2015, 07:44	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus (1) ergibt sich $\begin{align} x\equiv 1\bmod 4 \end{align}$ . Aus (2) ergibt sich $\begin{align} x\equiv 25\equiv 9\bmod 16 \end{align}$ . Die zweite Bedingung enthält die höhere Zweierpotenz als Modul, und damit die stärkere Forderung an $\begin{align} x \end{align}$ .
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25.11.2015, 07:51	UKF	Auf diesen Beitrag antworten »
Klar. Natürlich kann ich $\begin{eqnarray} x \equiv 1 mod 4 \end{eqnarray}$ im diesem System fallen lassen. Aber dass war nicht meine Frage. Warum nicht $\begin{eqnarray} x \equiv 1 mod 16 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} x \equiv 2 mod 16 \end{eqnarray}$ sondern $\begin{eqnarray} x \equiv 9 mod 16 \end{eqnarray}$ . Warum nicht $\begin{eqnarray} x \equiv 1 mod 5 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} x \equiv 2 mod 5 \end{eqnarray}$ sondern $\begin{eqnarray} x \equiv 0 mod 5 \end{eqnarray}$ .. Wahrscheinlich so trivial, dass ich das nicht sehe.
25.11.2015, 12:13	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus $\begin{align} x\equiv a\bmod m \end{align}$ folgt $\begin{align} x\equiv a\bmod t \end{align}$ für jeden Teiler $\begin{align} t \end{align}$ von $\begin{align} m \end{align}$ . Das trifft auch auf $\begin{align} a=25,m=80,t=16 \end{align}$ zu, also folgt aus $\begin{align} x\equiv 25\bmod 80 \end{align}$ speziell auch $\begin{align} x\equiv 25\bmod 16 \end{align}$ . Und da ja $\begin{align} 25\equiv 9\bmod 16 \end{align}$ ist, folgt nun was?
25.11.2015, 14:25	UKF	Auf diesen Beitrag antworten »
Perfekt. Danke. Wie gesagt trivial, aber naja habe ich nicht gesehen. Habe das System mal ausgerechnet und es kommt 1945 mod 2160 raus. Danke für eure Hilfe.
25.11.2015, 15:07	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Falls es noch einer Bestätigung bedarf: Das habe ich auch gestern als Ergebnis erhalten. Viel Spaß hier weiterhin im Board,

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