Differentialgleichung (gemischt, mit Anfangsbedingung)

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Neph Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung (gemischt, mit Anfangsbedingung)
Hallo,

ich habe 2 Fragen zu Differentialgleichungen:

1. Ich habe:

Gesucht ist die partikuläre Lösung mit den Anfangsbedingungen und
Also:
Und weiter

Ohne Anfangsbedingung hätte ich also:

Aber was mache ich jetzt mit den Anfangsbedingungen?


2. Der gemischte Term:


Ich weiß, wie man den partikulären Teil löst (zumindest theoretisch), also so etwas wie z.B. ist kein Problem. Aber das hier....
Ansatz:

Dann theoretisch die richtige Ableitung in den jeweiligen Teil des homogenen Terms einsetzen und Koeffizientenvergleich, um die As zu finden. Anschließend wieder in den Ansatz einsetzen und
anschreiben -> fertig.
Nur 1. habe ich beim homogenen Teil kein y'' und 2. hat sich ein x darin verirrt und ich habe keine Ahnung, was ich damit machen soll. Umformen, um es wegzubekommen und dann die ys links und die xs rechts zu haben, geht auch nicht.

Kann mir dabei jemand weiterhelfen?
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Willkommen im Matheboard!

Zitat:
Aber was mache ich jetzt mit den Anfangsbedingungen?


Daraus bastelst du ein Gleichungssystem. Da du und bestimmen musst, brauchst du also zwei Bedingungen für 2 Gleichungen.

Das mache doch erstmal, dann kümmern wir uns gleich um Problem Nummer zwei.

edit:

Zitat:


Wo kommt das Minuszeichen her?
Neph Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathema
Willkommen im Matheboard!

Danke.

Zitat:
Daraus bastelst du ein Gleichungssystem. Da du und bestimmen musst, brauchst du also zwei Bedingungen für 2 Gleichungen.
Ahm, wie?


Zitat:
Wo kommt das Minuszeichen her?
Vom "-i" oben, es hat ja eine Doppellösung, einmal mit +, einmal mit -.
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Guck noch mal in die Tabelle.

Du hast also:



Nehmen wir die erste Bedingung:



Also ergibt sich:





Nun du die zweite Bedingung. Dafür musst du allerdings erstmal bestimmen.
Neph Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, da habe ich mich scheinbar bei der Formel verschaut. Danke für den Hinweis.

Ok, die Ableitung ist:


Also:


Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Nein - du musst schon die Produktregel beim Ableiten beachten.
 
 
Neph Auf diesen Beitrag antworten »

Finger1 Was für ein Blödsinn, vergiss bitte, was ich geschrieben habe.

Jetzt aber:



Also:




-->



Hoffentlich jetzt ohne Rechenfehler. :/
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Jap - das habe ich auch herausbekommen. Freude

Nun zur zweiten. Das ist eine einfache Gleichung, die du durch Variation der Konstanten lösen kannst. Setze für also erstmal an:

Neph Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar. smile
Und jetzt einfach wieder einsetzen? Also:




Ich habe leider keine Ahnung, wie das geht. Ich weiß, dass es die Variation der Konstanten gibt und eine Trennung der Variablen (ist das dann xs nach links und ys nach rechts?, aber wie es weiter geht...), aber das Buch, das ich zum Lernen benutze, ist leider viel zu kryptisch, um das zu verstehen und hat auch keine vernünftigen Beispiele. :/

Ich kann daher nur raten mit dem wenigen, das ich darüber mit vernünftiger Erklärung finden konnte:




Woher ich dann aber das dx bekomme oder wie es weiter geht...
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:


Wo kommt nun das Minus wieder her? Zudem haben wir y(x) berechnet.

Zitat:
das Buch, das ich zum Lernen benutze, ist leider viel zu kryptisch


Hast du keine Vorlesung zu dem Thema? Mir scheint da fehlen sämtlich Grundlagen. Dann mal ganz langsam. Bei dem Verfahren Variation der Konstanten vernachlässigen wir erstmal unsere Störfunktion (das ist deine rechte Seite der Gleichung). Jetzt können wir nämlich die Variablen trennen. Ganz wichtig: Es ist:



Jetzt sortiere mal x und dx (im Zähler) auf eine Seite und y und dy auf die andere Seite. Kannst du das einmal machen?
Neph Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe oben die falsche kopiert, sorry, sollte natürlich ohne Minus und nur y(h) sein.
Einfach einsetzen sollte man c1 und c2 dann schon, oder?

Das schon, aber dort muss alles immer nur schnell gehen und die "Erklärungen" im offiziellen Buch dazu sind unter aller Sau, alles nur Formel-bla-bla, aber richtige Beispiele und vernünftige Erklärungen fehlen.






War das dann nicht auch schon die Trennung der Variablen?
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Einfach einsetzen sollte man c1 und c2 dann schon, oder?


Ja natürlich - wir erhalten also:



Du hast nicht genau gelesen:

Zitat:
Jetzt sortiere mal x und dx (im Zähler) auf eine Seite und y und dy auf die andere Seite.


Ok - bilden wir also den Kehrwert. Das Minus ziehe ich mal auf die andere Seite. Wir erhalten also:



Nun - die Integrale zu bestimmen ist nicht weiter schwierig. Was erhältst du?
Neph Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Wie komme ich da noch auf die partikuläre Lösung? Ich habe ja nichts auf der rechten Seite stehen.

Sorry.


Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wie komme ich da noch auf die partikuläre Lösung?


Keine Angst - ich führe dich schon noch zur Lösung.

Du hast etwas wichtiges vergessen. Das Verfahren, welches wir benutzen wollen, heißt Variation der Konstanten.

Wir erhalten also:



Löse das nach y auf.
Neph Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meine, im ersten Beispiel. In der Angabe steht, dass man die partikuläre Lösung mit den Anfangsbedingungen suchen soll. Das mit den Anfangsbedingungen habe ich verstanden, aber wie man damit auf die partikuläre Lösung kommt, wenn es eigentlich gar keinen s(x)-Teil gibt, weiß ich nicht.


Strich runter: e


Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Steht da wirklich partikuläre Lösung und nicht spezielle Lösung? Du hast eine homogene Gleichung. Eine partikuläre Lösung berechnen wir uns bei inhomogenen Problemen, wie wir sie gerade bei Aufgabe 2 haben.

Ok - können wir uns als neue Konstante definieren. Wir erhalten also:



Nun brauchen wir die partikuläre Lösung. Dazu fassen wir nun c als Funktion c(x) auf und bilden die Ableitung. Beachte also wieder die Produktregel. Was erhältst du nun für ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zur zweiten Gleichung: Mit ein bisschen Erfahrung (nicht sonderlich viel) kann man auch sofort erkennen, d.h., da steht

,

was man direkt integrieren kann. Augenzwinkern
Neph Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathema
Steht da wirklich partikuläre Lösung und nicht spezielle Lösung? Du hast eine homogene Gleichung. Eine partikuläre Lösung berechnen wir uns bei inhomogenen Problemen, wie wir sie gerade bei Aufgabe 2 haben.
Ja, es steht:
"Man bestimmte die partikuläre Lösung der Differentialgleichung .... zu den Anfangsbedingungen ... ." Und nein, ich habe mich bei der Gleichung nicht verschrieben. Könnte das theoretisch auch eine "Falle" sein?

Zitat:
Ok - können wir uns als neue Konstante definieren. Wir erhalten also:



Nun brauchen wir die partikuläre Lösung. Dazu fassen wir nun c als Funktion c(x) auf und bilden die Ableitung. Beachte also wieder die Produktregel. Was erhältst du nun für ?
Die Ableitung vom neuen homogenen Teil oder was meinst du?



Die Ableitungen vom Ansatz für den partikulären Teil:




Zitat:
Original von HAL 9000
Zur zweiten Gleichung: Mit ein bisschen Erfahrung (nicht sonderlich viel) kann man auch sofort erkennen, d.h., da steht

,

was man direkt integrieren kann. Augenzwinkern
"Mit ein bisschen Erfahrung"... Tja, das ist das Problem...
Aber danke für den Hinweis, ich werde es mir nachher noch einmal anschauen, wenn ich das Beispiel komplett durch bin.
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Für Anfangsbedingungen berechnet man eigentlich eine spezielle Lösung. Das Wort partikuläre Lösung in diesem Zusammenhang kenne ich nicht.

Zitat:
Die Ableitung vom neuen homogenen Teil oder was meinst du?


Ja - und du hast nicht verstanden was ich dir erzählt habe. c(x) ist nun eine Funktion.
Die Ableitung unter Benutzung der Produktregel lautet also:



Jetzt setzen wir y und y' in unsere Gleichung ein, also hier:

Zitat:


Kannst du das einmal machen?
Neph Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, merkwürdig. Die spezielle Lösung haben wir durch's Einsetzen dann eh, oder?

Oh, weil wir statt e^c jetzt c schreiben? Eigentlich ist ja e auch nur eine Konstante. Oder wieso ist c plötzlich eine Funktion?
Danke für deine Geduld. :/





Lass mich raten, jetzt das Integral davon?

Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Hm, merkwürdig. Die spezielle Lösung haben wir durch's Einsetzen dann eh, oder?


Richtig - ohne Anfangsbedingung, also mit Konstanten, sprechen wir von einer allgemeinen Lösung, mit Anfangsbedingung, also ohne Konstanten, haben wir eben eine spezielle Lösung.

Zitat:
Oder wieso ist c plötzlich eine Funktion?


Da wir die Konstante nun variieren, der Name des Verfahrens ist eben Programm.

Zitat:


Wunderbar. Freude

Also:





Nun wieder Integrieren.

Zitat:
Danke für deine Geduld.


Gerne!
Neph Auf diesen Beitrag antworten »

Ok.

Aha... Fällt das nicht-abgeleitete c im Normalfall eigentlich immer weg?

Integrieren: Siehe oben. Augenzwinkern
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Konstante fällt beim Ableiten weg, ja. Aber eben nicht eine Funktion. Beachte:



Wir sind nur Schreibfaul.

So - für setzen wir c nun in ein, also:



Deine Lösung ist dann:

Neph Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meine in:

Da fällt ja der "c"-Term wegen 1x + und 1x - weg. Passiert das immer in dieser Methode oder ist das einfach ein besonders "schönes" Beispiel?


Sprich insgesamt:




?
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Passiert das immer in dieser Methode


Ja.

Deine Lösung ist richtig. Freude

Falls du das Verfahren noch mal üben möchtest, kannst du dich ja mal mit folgender Gleichung vergnügen:



Zudem kannst du ja noch mal die Lösung von HAL nachvollziehen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathema
Zudem kannst du ja noch mal die Lösung von HAL nachvollziehen.

Muss man nicht mehr: Das von mir geschriebene entspricht voll inhaltlich dem hier:

Zitat:
Original von Neph

Das weitere Vorgehen ist entsprechend. D.h., die Erkenntnis kürzt nur den Weg etwas ab, ist aber kein prinzipiell anderes Vorgehen. Augenzwinkern
Neph Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathema
Ja.
Super, dann habe ich schon mal eine Möglichkeit, um mein Ergebnis ein bisschen zu überprüfen.

Zitat:
Deine Lösung ist richtig. Freude

smile
Danke noch einmal für deine Hilfe und Geduld!

Zitat:

Falls du das Verfahren noch mal üben möchtest, kannst du dich ja mal mit folgender Gleichung vergnügen:



Zudem kannst du ja noch mal die Lösung von HAL nachvollziehen.
Danke, werde ich machen.

Kurze Zusammenfassung zur Variation der Konstanten:
- xs auf eine Seite, ys auf die andere
- Integrieren, als "y=" anschreiben und Konstante dazu
- Term von Konstante mit c(x) ersetzen -> homogener Teil
- Homogenen Teil ableiten und in Angabe einsetzen, dann ausrechnen und das Ergebnis integrieren (c' -> c)
- In homogenen Teil als c einsetzen -> partikulärer Teil
- Als inhomogene Gleichung anschreiben

Entspricht der erste Teil dann schon der Methode der Trennung der Variablen?
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Entspricht der erste Teil dann schon der Methode der Trennung der Variablen?


Die Frage verstehe ich nicht ganz. Trennung der Variablen ist ja ein Verfahren, welches wir bei manchen Gleichungen benutzen können, z.B hier:



Jetzt können wir Variablen trennen, also:







[Mit der Lösung: ]

Bei deiner Gleichung schaffen wir es nicht die Variablen zu trennen, daher lassen wir die Störfunktion weg und trennen dann.
Neph Auf diesen Beitrag antworten »

Haben wir nicht auch die Variablen am Anfang getrennt? Also alles mit x auf die eine Seite, alles mit y auf die andere.

Woher kommt in der zweiten Zeile in deinem Beispiel eigentlich das x auf der rechten Seite?
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Das war die ganze Zeit schon da und hatte sich nur versteckt. Jetzt solltest du es auch wieder sehen. Entschuldige - verzeih mir bitte!

Richtig - Trennung der Variablen ist auch ein Schritt innerhalb des Verfahrens Variation der Konstanten - meiner Auffassung nach der 2. Schritt. Nehmen wir noch mal die Gleichung, die ich dir gegeben habe:

Zitat:


1. Schritt:



2. Schritt: Variablen trennen.
Neph Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, jetzt seh ich's auch, danke.

Aha! Gibt es da eine Grundregel, wann ich direkt trennen kann und wann ich zuerst die Störfunktion ignorieren muss? Oder sieht man das einfach?

Zu deinem Beispiel:





-->

Richtig?
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Eine wirkliche Grundregel ist mir nicht bekannt. Da muss man mit gesunden Menschenverstand rangehen und ein geschultes Auge hilft natürlich. Schwierig wird es wohl immer direkt zu trennen, wenn deine Gleichung (mehrere) Summanden beinhaltet, da du ja dy und dx durch Multiplikation trennen musst. Wenn man da nicht irgendwie das Glück hat, faktorisieren zu können, dann kommt man nicht weiter und muss eben Variation der Konstanten machen.

Bei der Gleichung kann ich eben direkt trennen, kommt ein Summand dazu, also z.B. , dann muss ich eben diesen Summanden weglassen und mir berechnen.

Zitat:
Richtig?


Ich seh schon, da brauch jemand keine Hilfe mehr. Dein Ergebnis ist absolut korrekt. Freude
Neph Auf diesen Beitrag antworten »

Freut mich! smile
Danke noch einmal!

Einmal brauche ich deine Hilfe doch noch:


...





Allerdings fällt mir dann das "c" beim Einsetzen nicht weg. :/



Ich dachte, das passiert nicht oder habe ich mich da irgendwo verrechnet?
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist:

Neph Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, soweit hatte ich es richtig.
Ich sehe schon, ich habe mich beim ln-e-wegstreichen geirrt.




-->

Jetzt ist es richtig, oder?
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Ja - nun ist es richtig.

Wink
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