Rang bestimmen

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Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
Rang bestimmen
Meine Frage:
Sei die Einheitsmatrix und mit . Bestimmen Sie den Rang und die Eigenwerte für die singuläre Matrix und die reguläre Matrix .

Meine Ideen:
Meine Idee war es die Eigenschaft zu nutzen. Jedoch ist . Und mit der Eigenschaft komme ich auch nicht weiter. Ich muss ja irgendwie das dyadische Produkt 'verschwinden' lassen.
Kann mir jemand weiterhelfen?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rang bestimmen
Überlege dir das mal für . Überlege dir dann, dass es nach einer Rotation bereits ausreicht das zu betrachten.
 
 
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rang bestimmen
Für gilt:
,
sodass gilt.

Was du konkret mit der Rotation meinst, weiß ich leider nicht. Jedoch würde für usw. das Gleiche gelten.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rang bestimmen
Das stimmt. Eigenwerte lassen sich ja auch einfach ablesen.

Es gilt, dass und für alle Matrizen und Rotationen die gleichen Eigenwerte (insbesondere den gleichen Rang) haben.

D.h. du musst nicht untersuchen, sondern es reicht für ein geeignetes R eben zu untersuchen.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rang bestimmen
Kann ich dann setzen?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rang bestimmen
Wenn dann ja. Ansonsten ist und da Rotationen immer Rang n haben, ist nie eine Rotation.

Vereinfache mal bzw. rechne ein wenig mit . Vlt bekommst du ja eine Form heraus, wo du es eher siehst.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rang bestimmen

So würde ich die Rotation umformen. Ich vermute, dass ich R so wählen muss, sodass ich den Term erhalte, um die Eigenschaft der Norm zu nutzen. Jedoch weiß ich nicht, wie ich R wählen soll, um dies nutzen.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rang bestimmen
Ich hatte gehofft du siehst . Nun reicht es zu benutzen, dass nach Gramm-Schmidt existiert mit und ist fertig.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rang bestimmen
Leider habe ich in meinen Vorlesungen noch nichts von Gramm-Schmidt gehört. Kannst du mir das näher erläutern und wie es zu benutzen ist?
Oder kann man den Rang ohne Gramm-Schmidt lösen?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rang bestimmen
Entschuldige, es muss natürlich Gram-Schmidt hießen. Hier ein Wikipedia-Aritikel: Link. Man nimmt einfach eine beliebige Basis, und das Verfahren liefert (durch pure Gewalt, lies: Projektionen) eine Orthonormalbasis.

Also, was ich (andere vermutlich mehr) zeigen kann.

Ohne die Existenz einer Rotation (oder äquivalent einer Orthonormalbasis, die enthält):
hat Rang . Das folgt sofort daraus, dass nur Rang 1 hat und im Kern der Matrix liegt. Dass vollen Rang hat, kann ich leider nicht sauber begründen.

Wenn man eine Orthonormalbasis mit besitzt:
Man kann leicht nachrechnen, dass alle Vektoren darin Eigenvektoren der Matrizen und sind, und die entsprechenden Eigenwerte angeben. Damit erledigt sich auch sofort der Rang.

Andererseits kann man dieses Basis einfach in eine Matrix eintragen und erhält , womit der Beweis von eben funktioniert. Es läuft (bei mir) jedenfalls alles darauf hinaus, dass die Standardbasis in dem Fall keine gute Wahl ist, da man die Identität in Richtung stört. Stattdessen dreht man die Standardbasis so, dass ein Vektor der Standardbasis auf gedreht wird. Genau das macht das bzw. um genau zu sein nur. D.h. ich brauche, dass man jeden normierten Vektor auf jeden anderen normierten Vektor drehen kann.

Wenn jemand mitliest und eine Lösung ohne ziemlich direkt die Existenz der Basis bzw. Rotation vorauszusetzen, wäre ich sehr interessiert daran.
URL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rang bestimmen
Das lässt sich alles mit Rechnerei zeigen:
Man findet zunächst (und daraus den gesuchten Rang, wie IfindU schon geschrieben hat).
Weiter folgt aus direkt .
Jetzt kann man sich darauf beschränken, dass linear unabhängig sind und bekommt den (anderen) Eigenwert.

Aus bekommt man für ein geeignetes . Das setzt man nochmal in die Gleichung ein und bekommt .
Die Eigenwerte bekommt man nach der gleichen Methode wie oben.

Es ist vielleicht nützlich, sich die geometrische Bedeutung der beiden Abbildungen klar zu machen.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rang bestimmen
Danke URL - ich dachte nicht, dass man mit "Rechnerei" weit kommt und man zwangsläufig sich in einer Indizeschlacht verliert -- überraschend elegant Freude
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