n-te Potenz Matrix

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Desogude Auf diesen Beitrag antworten »
n-te Potenz Matrix
Hallo,

habe folgendes Problem:

Es sei . Man finde eine Formel für die n-te Potenz der Matrix



und beweise die Lösung.

Meine Lösung sieht etwa so aus :



die so eigentlich nach ausprobieren stimmen müsste.

Ich möchte dies nun per Induktion beweisen, nur weiß ich nicht wie ich das in eine "beweisbare" Form bringen kann.

Ich habe mir gedacht jeden einzelnen Beitrag zu beweisen, Bsp:

für = a*a + b*0 für n=2

Aber wie kann ich das dann in eine verwertbare Form für weitere n bringen?

Es wäre z.B dann (a*a + b*0) * a + *0 = für n=3

unglücklich

hoffe mir kann jemand einen Tip geben
Desogude Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist noch eine zusätzliche Frage eingefallen:

Gibt es eine Möglichkeit zu beweisen dann eine gewisse Potenz einer Matrix gleich der Nullmatrix ist, außer es direkt auszuprobieren?
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RE: n-te Potenz Matrix
Zitat:
Original von Desogude
Meine Lösung sieht etwa so aus :



Das ist schon für n=1 falsch.
Desogude Auf diesen Beitrag antworten »

danke für die ausführliche Antwort ^_^
Desogude Auf diesen Beitrag antworten »




so besser?
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Was willst du denn noch? Du hast doch schon den richtigen Weg, nämlich Induktion, eingeschlagen, und ich habe dir gesagt, warum dein Beweis nicht funktionieren wird smile Auf ein Neues.
Edit: Das kann doch nicht stimmen, setze k=n ein.
 
 
Desogude Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast meine Frage bzgl Induktion oben nicht gelesen oder zumindest nicht beantwortet...

Abgesehn davon, dass die Formel gerade falsch ist -.-
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Auch das ist falsch, sogar wieder für .

Wenn man eine solche Behauptung aufstellt, dann sollte sie doch wenigstens für kleine stimmen. D.h., berechne doch mal die Matrixpotenz für .
Desogude Auf diesen Beitrag antworten »

Das es falsch ist, habe ich schon gemerkt ^_^

Danke für den Hinweis.
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Wie bist du denn auf diesen Lösungsansatz gekommen, ohne die Matrixpotenzen berechnet zu haben? verwirrt
Desogude Auf diesen Beitrag antworten »

Das habe ich. Ich habe nur einen kleinen Fehler gemacht, den ich gerade versuche zu beheben...


und stimmt ja nur bekomme ich für bei n=2 den Wert den ich eigentlich für n=3 rausbekommen sollte. das ist der einzige Fehler.

Wie soll ich das dann hinterher induktiv beweisen? kannst du mir das vll verraten?
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Induktionsannahme gilt für eine natürliche Zahl (wie aussieht, musst du noch herausfinden)
Dann berechnest du

Dann siehst du, dass du nur noch den Term rechts oben genauer betrachten musst.
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