Zusammenhangskomponenten von Mannigfaltigkeiten

28.11.2015, 10:34	Ittum	Auf diesen Beitrag antworten »
Zusammenhangskomponenten von Mannigfaltigkeiten Meine Frage: Guten Tag, ich würde gerne einige Eigenschaften von Zusammenhangskomponenten von n-Mannigfaltigkeiten nachweisen. Primär wären dies: 1) Offenheit 2) Abgeschlossenheit und 3) Wegzusammenhang Meine Ideen: Sei $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ eine n-Mannigfaltigkeit und $\begin{eqnarray} N\subset M \end{eqnarray}$ eine Zusammenhangskomponente. 2) Die Abgeschlossenheit sollte recht klar sein, da $\begin{eqnarray} \overline{\mskip-.1\thinmuskip N\mskip-.2\thinmuskip} \end{eqnarray}$ zusammenhängend ist, sodass gilt $\begin{eqnarray} \overline{\mskip-.1\thinmuskip N\mskip-.2\thinmuskip} = N \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ somit abgeschlossen ist. 1) Hier wäre mein Ansatz: i) Da ich schon gezeigt habe das die Zusammenhangskomponenten abgeschlossen sind, könnte man das Komplement betrachten, also $\begin{eqnarray} M\setminus N=\bigcup\limits_{i \in I} {N_i} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ nun erstmal eine beliebige Indexmenge ist. Nun sind allerdings nur endliche Vereinigungen abgeschlossener Mengen abgeschlossen, und ich weiß im Moment noch nicht woher ich die Endlichkeit bekommen könnte. Die Mannigfaltigkeit liefert mir eine abzählbare Basis, aber keine endliche. 3) Über Wegzusammenhang habe ich bisher noch nicht nachgedacht, da ich erstmla die Offenheit zeigen möchte. mfg Ittum

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