Basen einer linearen Abbildung berechnen

29.11.2015, 19:09

laa_f

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Basen einer linearen Abbildung berechnen

Meine Frage:
Gegeben in die lineare Abbildung f: 4^R --> 3^R mit der Eigenschaft f(u)=A*u für alle u aus 4^R.
A = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -3 & 4 & 5 \\ -3 & 9 & -12 & -15 \\ 4 & -12 & 16 & 20 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Die Matrix von f bezüglich der Basen B und C soll der Form $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} Idr & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ entsprechen.

Meine Ideen:
Ich habe zunächst A in die Stufenform gebracht und (1 -3 4 5) erhalten (darunter zwei Nullzeilen). Daraus konnte ich schließen, dass der Rang von A und somit auch die Dimension des Bildes gleich 1 ist. Stimmt es, dass die Dimension vom Kern dann 3 ist?
Bei meiner "Endmatrix" bin ich auf $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} Idr & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gekommen, weiß aber nicht, wie ich die Basen finde.
Habe schon viel rumprobiert und viele Seiten vollgeschrieben, aber komme einfach nicht weiter.

29.11.2015, 21:24

Helferlein

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Deine Überlegungen stimmen soweit. (Bis auf die Bezeichnung $\begin{eqnarray*} 4^R \end{eqnarray*}$ . Das soll wohl eher $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ heissen, oder?)
Du brauchst nun noch drei linear unabhängige Vektoren des kerns, um sie durch einen vierten Vektor zu einer Basis zu ergänzen.

29.11.2015, 21:45

laa_f

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Danke für die Antwort! Erstmal zur Aufklärung, wir unterscheiden (wieso auch immer) zwischen 4^R und R^4 je nach dem ob wir Spalten oder Zeilenvektoren haben... Kannte das von meinem vorherigen Dozenten auch anders smile

smile

Jetzt zu deinem Rat: Heißt das, ich berechne einfach erstmal den Kern, also A*x=0, und suche mir einfach linear unabhängige Vektoren raus? Aber ich brauche ja zwei Basen aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$

29.11.2015, 21:47

laa_f

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Oder ist (1, -3, 4, 5) bereits der Kern?

29.11.2015, 21:57

Helferlein

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Ersteres. Du brauchst drei linear unabhängige Vektoren $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} Av_i=0 \end{eqnarray*}$

29.11.2015, 22:04

laa_f

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Alles klar, also z.B. (4, 1, 1, -1), (-3, 3, 3, 0) und (1, 4, 2, 1)? Und dann? :/

(Danke für Hilfe und Geduld)

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29.11.2015, 22:07

Helferlein

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Von den drei Vektoren sind nur zwei im Kern. Rechenfehler?
Im übrigen wäre es einfacher zwei Koordinaten auf 0 zu setzen Augenzwinkern

Augenzwinkern

EDIT: Beitrag nach dem Edit und Folgebeitrag von laa angepasst.

29.11.2015, 22:11

laa_f

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Ich habe geschaut, dass sie die Gleichung x1 - 3*x2 + 4*x3 + 5*x4 = 0 erfüllen... Habe ich der Stufenform von A entnommen traurig

traurig

29.11.2015, 22:13

Helferlein

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Dann überprüfe noch mal den dritten Vektor. Der stimmt nicht.

29.11.2015, 22:14

laa_f

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Ok, also falls das mit der Gleichung stimmt sagen wir der Einfachheit halber: (3,1,0,0), (4,0,-1,0), (5,0,0,-1)?

Hätte den anderen Fehler aber gefunden, die erste 1 des dritten Vektors sollte negativ sein >.<

29.11.2015, 22:40

laa_f

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Also wenn ich diese drei jetzt zu einer Matrix zusammensetze und mit A multipliziere, dann bekomm ich eine Nullmatrix raus, ist das richtig? Wie wähle ich dann die Basis C?

29.11.2015, 22:49

Helferlein

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Siehe oben:

Zitat:

Original von Helferlein
Du brauchst nun noch drei linear unabhängige Vektoren des kerns, um sie durch einen vierten Vektor zu einer Basis zu ergänzen.

Ergänze die drei zu einer Basis. Ein Vektor fehlt ja noch und der muss linear unabhängig zum Rest sein. Daher auch mein Tip mit den Nullen.
Bei deiner Wahl wäre es schwieriger einen vierten zu bestimmen.

29.11.2015, 23:09

laa_f

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Ich bin jetzt auf folgende Lösungen gekommen:
B = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 4 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
C^-1 = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 4 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und daher C = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \\ 4 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Zumindest kommt jetzt die korrekte Matrix raus, wenn ich C^-1*A*B rechne...

29.11.2015, 23:16

laa_f

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Oh nein, doch nicht Forum Kloppe

Forum Kloppe

Bekomme für (C^-1*A)*B

1 0 10 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0

traurig

traurig

Wie bekomme ich diese 10 weg? Och man, dachte ich hätte es endlich. Für C^-1*(A*B) hat es gestimmt...

29.11.2015, 23:25

Helferlein

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Da die Matrixmultiplikation assoziativ ist, sollte schon dasselbe herauskommen.
Ich sehe aber in der Matrix B einen Fehler. Vergleiche die mit deiner Basis.

29.11.2015, 23:35

laa_f

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Kannst du mir sagen, wo der Fehler liegt? Ich komm nicht drauf. Bin schon als am rumprobieren

29.11.2015, 23:48

Helferlein

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Zitat:

Original von laa_f
Ok, also falls das mit der Gleichung stimmt sagen wir der Einfachheit halber: (3,1,0,0), (4,0,-1,0), (5,0,0,-1)?

Sind das die Vektoren in deiner Matrix B?

29.11.2015, 23:50

laa_f

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Vorzeichenfehler, ich glaubs nicht! Big Laugh

Big Laugh

Muss ich das nur zu einer -1 ändern? Rest ist korrekt?

29.11.2015, 23:54

Helferlein

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So ist es

Freude

29.11.2015, 23:55

laa_f

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Perfekt, tausend Dank Freude

Freude

Schwierig war es ja dann eigentlich echt nicht...

30.11.2015, 00:18

Luscinia

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Ich finde die Notation $\begin{align*} 4^\mathbb{R} \end{align*}$ auch sehr ungünstig, eigentlich bezeichnet das die Menge der Abbildungen $\begin{align*} \mathbb R\to\{0,1,2,3\} \end{align*}$ . Genauso, wie man umgekehrt $\begin{align*} \mathbb R^4 \end{align*}$ als Menge der Abbildungen $\begin{align*} \{0,1,2,3\}\to\mathbb R \end{align*}$ auffassen kann.

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