Determinante

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01.12.2015, 07:18	cy10	Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante Meine Frage: Hallo gegeben ist eine quadratische reelle Matrix M und die Gleichung $\begin{eqnarray} detM^{-1} =detM^{T} \end{eqnarray}$ Mich würde interessieren,ob die Gleichheit nur gilt wenn die Determinate von M eins ist Viele Grüße Meine Ideen: ich vermute ja
01.12.2015, 07:20	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante Nein. Sie gilt noch in einem anderem Fall.
01.12.2015, 07:53	cy10	Auf diesen Beitrag antworten »
der andere Fall wäre wohl detM=0
01.12.2015, 07:58	cy10	Auf diesen Beitrag antworten »
Nee bei detM=0 gibt es keine Inverse
01.12.2015, 08:43	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Setze mal $\begin{eqnarray} x = \det M \end{eqnarray}$ und versuche alles bei dir durch $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ zu ersetzen.
01.12.2015, 12:31	cy10	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke das ist ein guter Hinweis du meinst sicher $\begin{eqnarray} x^{2} =1 \end{eqnarray}$ es geht eigentlich um folgendes $\begin{eqnarray} S=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ M ist eine kanonische Transformation zeige detM=1 das wäre mein Ansatz $\begin{eqnarray} S=M^{T}SM \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} SM^{-1} =M^{T}SM M^{-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} det(SM^{-1} )=det(M^{T}S) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} det(S)det(M^{-1} )=det(M^{T})det(S) \end{eqnarray}$ jetzt kann man detS rauskürzen $\begin{eqnarray} det(M^{-1} )=det(M^{T}) \end{eqnarray}$ der Weg bringt also nichts das kam mir auch etwas komisch vor,weil ich ja mit S auch eine Information rauskürze
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01.12.2015, 18:12	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Und $\begin{eqnarray} x^2 = 1 \end{eqnarray}$ hat zwei Lösungen. Leider kann ich mit "kanonischer Transformation" nicht viel anfangen. Aber offenbar ist es ein $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ s.d. $\begin{eqnarray} S = M^T S M \end{eqnarray}$ erfüllt ist. Wenn du darauf die Determinante wirfst, bekommst du sofort $\begin{eqnarray} \det S = (\det M)^2 \det S \end{eqnarray}$ . Das kürzen ist also nicht das Problem, sondern dass du beim Determinanten nehmen sofort die Information der "Reihenfolge" der Matrixmultiplikation verlierst. Damit hast du bereits verloren. Da ich nicht wirklich in dem Thema bin, könntest du folgendes machen: Schreibe $\begin{eqnarray} M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und multipliziere alles aus und du bekommst hoffentlich eine Gleichung, die dir $\begin{eqnarray} ad - bc = 1 \end{eqnarray}$ liefert. Ansonsten müsstest du mir kurz erklären was eine kanonische Transformation ist, ob die 1 in S z.B. für die Einheitsmatrix steht und nicht für den Skalar usw. Alternativ wartest du bis ein Algebraiker hier vorbei schaut.
01.12.2015, 19:14	cy10	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke erstmal Vielleicht nochmal anders gefragt Ich habe $\begin{eqnarray} S=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} S=M^{T}SM \end{eqnarray}$ was kann ich jetzt über die Determinante von M aussagen? offenbar ist detM=1 oder detM=-1
01.12.2015, 19:25	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann kannst du wirklich den Ansatz von mir für M nehmen und dann über Koeffizientenvergleich zeigen, dass $\begin{eqnarray} \det M = ad - bc = 1 \end{eqnarray}$ . Also in die Gleichung $\begin{eqnarray} S = M^T S M \end{eqnarray}$ einsetzen und rechts das Produkt ausrechnen.
01.12.2015, 20:45	cy10	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Problem ist,dass ich die Einträge der Matrix nicht nehmen darf denn sonst könnte man leicht zeigen,dass die Determinante eins ist Ich einfach nur eine Matrix M ich habe mal eine Matrix mit der Determinante 1 bzw minus1 genommen und ausgerechnet $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ bei detM=-1 ist die Gleichung nicht erfüllt
01.12.2015, 20:50	cy10	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe einfach nur eine Matrix M
01.12.2015, 20:51	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Du wirst doch annehmen können, dass jede $\begin{eqnarray} 2 \times 2 \end{eqnarray}$ Matrix 4 Zahlen $\begin{eqnarray} a,b,c,d \end{eqnarray}$ besitzt, s.d. sie von der Form $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Und mehr brauchst du ja nicht. Aus $\begin{eqnarray} S = M^T S M \end{eqnarray}$ folgt dann sofort $\begin{eqnarray} \det M = 1 \end{eqnarray}$ . Um genau zu sein, ist $\begin{eqnarray} M^T S M = \begin{pmatrix} & -\det M \\ \det M & * \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , wo ich $\begin{eqnarray} * \end{eqnarray}$ nicht explizit ausgerechnet habe und unbedeutend ist. Also ist $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = S = M^T S M = \begin{pmatrix} * & -\det M \\ \det M & * \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und damit die Determinante eindeutig festgelegt.
01.12.2015, 21:40	cy10	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke ich habs jetzt Hier noch ein paar Hintergrundinformationen Angenommen ich habe 2 Variablem q und p (Ort und Impuls) ich will aber 2 andere nämlich Q und P dann machen Q und P im Hamilton-Formalismus nur Sinn wenn die Transformation kanonisch ist das ist die Transformationsmatrix $\begin{eqnarray} M=\begin{pmatrix} \frac{\partial Q}{\partial q} & \frac{\partial Q}{\partial p} \\\\ \frac{\partial P}{\partial q} & \frac{\partial P}{\partial p} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ die ist dann kanonisch wenn detM=1 $\begin{eqnarray} Q=pq^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P=\frac{1}{q} \end{eqnarray}$ das wäre zB kanonisch
02.12.2015, 11:24	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Daher bekam ich so viel Physik als ich nach "kanonischer Transformation" gesucht habe. Übrigens nennt man die kanonischen Matrizen allgemeiner symplektisch.

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