Komplexe Zahlen - Real- und Imaginärteil, Polardarstellung berechnen

01.12.2015, 19:59

Systemerror

Komplexe Zahlen - Real- und Imaginärteil, Polardarstellung berechnen

Hallo erstmal
Ich würde gerne wissen ob ich folgende Aufgabe richtig gelöst habe:

Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil der Zahl
$\begin{eqnarray*} z= \frac{4}{\sqrt{3}+i} \end{eqnarray*}$
und geben Sie die Zahl zusätzlich in Polardarstellung an.
Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} z^{66} \end{eqnarray*}$ und geben Sie das Ergebnis in einer Darstellung IhrerWahl (kartesische oder Polarkoordinaten) an.

Den Real- und Imaginärteil habe ich schon berechnet. Den Bruch mit dem komplex konjugierten Nenner erweitert, gekürzt und einfach abgelesen:

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{\sqrt{3}+i} * \frac{\sqrt{3}-i}{\sqrt{3}-i} = \frac{4\sqrt{3}-i}{4} = \sqrt{3} - i = \sqrt {3} + (-1i) \end{eqnarray*}$

Also ist

Re= $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

Im= $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$

Hoffe der Teil ist soweit korrekt.

Dann muss ich die Polarform berechnen. Da ist

$\begin{eqnarray*} r = \sqrt{\sqrt{3}^2+(-1)^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} =2 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} tan(\varphi) = \frac{-1}{\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \rightarrow arctan(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -30^\circ \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} z = 2*(cos(30^\circ)+i*sin(30^\circ)) \end{eqnarray*}$
Stimmt das ganze denn jetzt eigentlich so?

01.12.2015, 20:24

Mathema

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Herzlich Willkommen im Matheboard,

toll, dass du gleich bei deinem ersten Beitrag unseren Formeleditor benutzt. Freude

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{4\sqrt{3}-\textcolor{red}{4}i}{4} = \sqrt{3} - i \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, dass war nur ein Tippfehler und kein Kürzen in die Summe. Dann wäre dein Ergebnis zufällig richtig.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} z = 2*(cos(30^\circ)+i*sin(30^\circ)) \end{eqnarray*}$

Wo ist denn das Minuszeichen hin? Sollst du wirklich deine Winkel im Gradmaß angeben? Für einen positiven Winkel im IV Quadranten solltest du noch $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ addieren.

Wink

01.12.2015, 21:07

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Ups, ja. Da muss natürlich eine weitere 4 hin, kleiner Flüchtigkeitsfehler.

$\begin{eqnarray*} \frac{4\sqrt{3}-4i}{4} = \sqrt{3} -i \end{eqnarray*}$

Das minus hatte ich ganz vergessen. Ich hatte den Beitrag schnell editiert als ich gemerkt habe, dass ich zwar $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ und r angegeben hatte, aber nicht die eigentliche Polardarstellung.

Richtig wäre

$\begin{eqnarray*} arctan(-\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\pi}{6} \approx -0.523.... -\frac{\pi}{6} = -30^\circ z = 2*(cos(-30^\circ)+i*sin(-30^\circ)) \rightarrow z = 2^{-0.523...i} \end{eqnarray*}$

01.12.2015, 21:18

Mathema

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Wieso bleibst du nicht im Bogenmaß? Wo ist dein e ?

$\begin{eqnarray*} z=2e^{\tfrac{11}{6}\pi i} \end{eqnarray*}$

01.12.2015, 21:31

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Sorry, ich bin wohl etwas durch den Wind unglücklich

$\begin{eqnarray*} z = 2e^{-\frac{\pi}{6}i} \end{eqnarray*}$

01.12.2015, 21:46

Mathema

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Dann eben so.

01.12.2015, 22:10

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Als letztes würde ich noch $\begin{eqnarray*} z^{66} \end{eqnarray*}$ berechnen, simpel mit der der DE MOIVREschen Formel

$\begin{eqnarray*} z^n = r^ne^{in\varphi} \end{eqnarray*}$

In meinem speziellen Fall

$\begin{eqnarray*} z^{66}=2^{66}e^{66*-\frac{\pi}{6}i} = 2^{66}e^{-\frac{66\pi}{6}i} = 2^{66}e^{-{11\pi} i} \end{eqnarray*}$

01.12.2015, 22:14

Mathema

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Ich wäre dann ja für $\begin{eqnarray*} z=2^{66}e^{\pi i} \end{eqnarray*}$ , aber da du meine Exponenten anscheinend nicht magst, halte ich mich zurück.

Wink

01.12.2015, 22:23

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Ich glaube ich steh da ein wenig auf dem Schlauch - wieso kann ich die -11 einfach weglassen?

Vielen vielen dank übrigens, du hast mir sehr weitergeholfen. Mit Zunge