Lineare Unabhängigkeit

01.12.2015, 22:07

Desogude

Lineare Unabhängigkeit

Aufgabe : Sei V ein K-Vektorraum, v1, . . . , vn ∈ V linear unabhängig sowie

$\begin{eqnarray*} v_{n}=\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}v_{i} mit a_{i} \in K \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie, dass die Vektoren

$\begin{eqnarray*} v_{1} - v, v_{2}-v,..., v_{n}-v \end{eqnarray*}$

genau dann linear abhängig sind , wenn $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n} a_{i} = 1 \end{eqnarray*}$

Def. linearer Unabhängigkeit: Nicht triviale Konstruktion des Nullvektors:

$\begin{eqnarray*} v_{n}=\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}v_{i} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=(-1)v + \sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}v_{i} \end{eqnarray*}$ , daraus folgt doch schon, dass nicht alle Koeffizienten Null sind und somit unabhängig davon ob die Summe der $\begin{eqnarray*} a_{i} \end{eqnarray*}$ 's = 1 ist, die Vektoren linear abhänging sind.

Und umgekehrt , wenn ich mir überlege, dass z.B die Summe der $\begin{eqnarray*} a_{i} \end{eqnarray*}$ 's ungleich 1 ist, ist damit immer noch nicht die Definition der linearen Unabhängigkeit erfüllt, außer eben, dass alle Vektoren Nullvektoren sind.

Irgendwelche Tips?

Danke!

02.12.2015, 09:59

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lineare Unabhängigkeit

Zitat:

Original von Desogude
$\begin{eqnarray*} v_{n}=\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}v_{i} mit a_{i} \in K \end{eqnarray*}$

Kann es sein, daß eigentlich $\begin{eqnarray*} v := \sum\limits_{i=1}^n a_i v_i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_i \in K \end{eqnarray*}$ gemeint ist?

Zitat:

Original von Desogude
Def. linearer Unabhängigkeit: Nicht triviale Konstruktion des Nullvektors:

$\begin{eqnarray*} v_{n}=\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}v_{i} \end{eqnarray*}$

Also das ist von der Definition der linearen Unabhängigkeit noch ein Stück weg. Eine Familie von Vektoren (v_i) ist linear unabhängig genau dann, wenn gilt:
$\begin{eqnarray*} 0 = \sum\limits_{i=1}^n a_i v_i \Rightarrow a_1 = a_2 = ... = a_n = 0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Desogude
$\begin{eqnarray*} 0=(-1)v + \sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}v_{i} \end{eqnarray*}$ , daraus folgt doch schon, dass nicht alle Koeffizienten Null sind und somit unabhängig davon ob die Summe der $\begin{eqnarray*} a_{i} \end{eqnarray*}$ 's = 1 ist, die Vektoren linear abhänging sind.

Also mir ist nicht klar, was du damit sagen willst, und mir leuchtet auch nicht ein, was das mit der Aufgabe zu tun hat. Du mußt doch zeigen, daß die Vektoren

$\begin{eqnarray*} v_1 - v, v_2-v, ..., v_n-v \end{eqnarray*}$

linear abhängig sind, wenn $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n} a_{i} = 1 \end{eqnarray*}$ ist.

Das heißt, es müßte Linearfaktoren b_1, ..., b_n, von denen wenigstens einer nicht Null ist, geben, so daß $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n b_i (v_i - v) = 0 \end{eqnarray*}$ ist.

Wenn du die b_i geschickt wählst, kannst du das leicht zeigen. smile

02.12.2015, 11:58

Desogude

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lineare Unabhängigkeit

Zitat:

Original von klarsoweit
Kann es sein, daß eigentlich $\begin{eqnarray*} v := \sum\limits_{i=1}^n a_i v_i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_i \in K \end{eqnarray*}$ gemeint ist?

es war gemeint $\begin{eqnarray*} v = \sum\limits_{i=1}^n a_i v_i \end{eqnarray*}$
also nicht $\begin{eqnarray*} v_{n} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von klarsoweit
verwirrt

Also das ist von der Definition der linearen Unabhängigkeit noch ein Stück weg. Eine Familie von Vektoren (v_i) ist linear unabhängig genau dann, wenn gilt: $\begin{eqnarray*} 0 = \sum\limits_{i=1}^n a_i v_i \Rightarrow a_1 = a_2 = ... = a_n = 0 \end{eqnarray*}$

Ich meinte natürlich "nur triviale Weise einen Nullvektor zu konstruieren" Hammer

Zitat:

Original von klarsoweit
Also mir ist nicht klar, was du damit sagen willst, und mir leuchtet auch nicht ein, was das mit der Aufgabe zu tun hat. Du mußt doch zeigen, daß die Vektoren

$\begin{eqnarray*} v_1 - v, v_2-v, ..., v_n-v \end{eqnarray*}$

linear abhängig sind, wenn $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n} a_{i} = 1 \end{eqnarray*}$ ist.

Das heißt, es müßte Linearfaktoren b_1, ..., b_n, von denen wenigstens einer nicht Null ist, geben, so daß $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n b_i (v_i - v) = 0 \end{eqnarray*}$ ist.

Wenn du die b_i geschickt wählst, kannst du das leicht zeigen. smile

Ich wollte damit sagen, dass die Vektoren wenn man nun v auf die rechte Seite bringt linear abhängig sind, da der Linearkoeffizient von v (-1) ist also ungleich Null auch wenn die restlichen alle Null sind und das eben den Nullvektor ergibt.
Aber ich glaube ich hatte mich bei dieser Argumentation etwas verlesen...
Natürlich muss dann mindestens ein anderer Linearkoeffizient $\begin{eqnarray*} b_{i} = 1 \end{eqnarray*}$ sein (oder eben die Summe) damit 1 + (-1) aufgeht , richtig so?

Ich dachte es reicht zu zeigen, dass der Koeffizient von v (-1) ist und damit ungleich Null...

Ich habe die Aufgabe einfach nur falsch verstanden. Mir leuchtete anfangs nicht ein wieso du v einfach in die Summe ziehen kannst. Aber das folgt einfach aus der Aufgabenstellung Hammer

Ich glaub es war einfach zu spät gestern -.-

Danke für die Hilfe

02.12.2015, 12:30

Desogude

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist die Antwort der Aufgabe nicht einfach, dass ich ein beliebiges $\begin{eqnarray*} a_{i} \end{eqnarray*}$ wähle = 1 und den rest = 0

also

Für alle $\begin{eqnarray*} (a_i)_{i\in I} \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} a_i = 0 \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} i\neq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_i=1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i= 1 \end{eqnarray*}$

Dann gilt $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n a_i (v_i - v) = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n a_i = 1 \end{eqnarray*}$

Damit ist auch die lineare Abhängigkeit erfüllt da min. ein $\begin{eqnarray*} a_i \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist

aber war das denn schon etwa der Beweis??

02.12.2015, 13:10

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Damit hast du aber in deinem "Beweis" die a_i festgelegt. So ist das aber in der Aufgabe nicht gemeint bzw. du hast das falsch verstanden. Du mußt das für beliebige a_i zeigen, deren Summe gleich 1 ist. Augenzwinkern

02.12.2015, 16:01

Desogude

Auf diesen Beitrag antworten »

Also

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n b_i (v_i - v) = 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v = \sum\limits_{i=1}^n a_i v_i \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n a_i = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n b_i (v_i - \sum\limits_{i=1}^n a_i v_i) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n b_i v_i - \sum\limits_{i=1}^n b_i \sum\limits_{i=1}^n a_i v_i = 0 \end{eqnarray*}$

Summen zusammenziehen

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n b_i v_i - \sum\limits_{i=1}^n b_i a_i v_i = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_i a_i = b_i^* \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n b_i v_i - \sum\limits_{i=1}^n b_i^* v_i = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n (b_i - b_i^*) v_i = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_i \neq 0 \end{eqnarray*}$

sodass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n (b_i - b_i^*)= 0 \end{eqnarray*}$ und daraus folgt

$\begin{eqnarray*} b_i = b_i^* \end{eqnarray*}$

geht das schon mehr in die richtige Richtung?

03.12.2015, 17:42

Desogude

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe nicht ganz wie ich bei

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n b_i (v_i - v) = 0 \end{eqnarray*}$

meine Bedingung $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n a_i = 1 \end{eqnarray*}$ mit einbauen kann...

Bei meinem vorherigen "Versuch" , kann ich glaube ich die Summen nicht ohne weiteres zusammen ziehen und ich habe natürlich nicht gezeigt, dass die Vektoren genau dann linear unabhängig sind, wenn

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n a_i = 1 \end{eqnarray*}$ gilt.

Wenn die Summe der b_i's auch eins ist, ist die lineare Unabhängigkeit gezeigt, aber warum erst wenn die summe der a_i's eins ist ?? Ich könnte doch ebenfalls mein v konstruieren ohne, dass die Summe der a_i's =1 ist und trotzdem anschließend die lineare Unabhängigkeit zeigen.

Ich glaube ich verstehe die Aufgabe immer noch nicht so ganz.

kann mir vielleicht jmd noch einmal drüber schauen und mir einen Tip geben?

03.12.2015, 18:29

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Desogude
Also

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n b_i (v_i - v) = 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v = \sum\limits_{i=1}^n a_i v_i \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n a_i = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n b_i (v_i - \sum\limits_{i=1}^n a_i v_i) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n b_i v_i - \sum\limits_{i=1}^n b_i \sum\limits_{i=1}^n a_i v_i = 0 \end{eqnarray*}$

Summen zusammenziehen

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n b_i v_i - \sum\limits_{i=1}^n b_i a_i v_i = 0 \end{eqnarray*}$

Das geht gar nicht.
Besser : $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n b_k (v_k - v) = 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v = \sum\limits_{i=1}^n a_i v_i \end{eqnarray*}$

03.12.2015, 19:25

Desogude

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das meinte ich ja mit, dass ich die Summen nicht einfach so zusammenziehen kann (auf das mit den Indices bin ich bereits gekommen). Leider hilft mir, das noch nicht ganz so weiter...

04.12.2015, 09:07

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Desogude
Ich verstehe nicht ganz wie ich bei

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n b_i (v_i - v) = 0 \end{eqnarray*}$

meine Bedingung $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n a_i = 1 \end{eqnarray*}$ mit einbauen kann...

Am besten läßt du an dieser Stelle das v erst mal als v stehen:

$\begin{eqnarray*} 0 = \sum\limits_{i=1}^n b_i (v_i - v) = \sum\limits_{i=1}^n b_i v_i - \sum_{i=1}^n (b_i \cdot v) = \sum\limits_{i=1}^n b_i v_i - v \cdot \sum_{i=1}^n b_i \end{eqnarray*}$

Jetzt überlege dir, wie man die b_i wählen könnte, so daß $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n b_i v_i = v \cdot \sum_{i=1}^n b_i \end{eqnarray*}$ ist. Denke dabei auch daran, daß $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n a_i = 1 \end{eqnarray*}$ ist. smile

Neue Frage »

Antworten »

Lineare Unabhängigkeit

Verwandte Themen