Beweis Ring -> Körper

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Desogude Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Ring -> Körper
Sei R ein endlicher, kommutativer Ring mit 1 ohne Nullteiler. Zeigen Sie: R ist ein Körper.
Hinweis: Betrachten Sie die Multiplikation mit einem festen Element die Abbildung




Ich weis, dass jeder Körper ein Integritätsbereich ist und ein kommutativer Ring mit Einselement ohne Nullteiler ebenfalls ein Integritätsbereich ist. Das kann ich wahrscheinlich schlecht als Beweis anführen.

Ich könnte natürlich auch die Körperaxiome beweisen, nur kann ich den Hinweis nicht richtig deuten.

Es fehlt auf jeden fall das multiplikative inverse um aus dem Ring ein Körper zu machen ich kann das nur nicht in Verbindung bringen mit dem Hinweis.

Was mir ebenfalls in den Sinn kam, wäre eine bijektive Abbildung also eine Umkehrabbilung als inverses Element?

Bitte um etwas Hilfe.

Danke
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Ring -> Körper
Zu zeigen ist, dass diese Abbildung auch auf die 1 abbildet, also dass die 1 im Bild liegt. Denn wenn es ein x gibt, das erfüllt, ist x das Inverse von r. Damit wäre gezeigt, dass jedes von 0 verschiedene r invertierbar ist. Und R damit ein Körper ist, denn das ist das Einzige, was eben noch nachzuweisen ist. Für r=0 hätte man natürlich die Nullabbildung, da kann die 1 nicht im Bild liegen, aber für die 0 suchen wir ja auch kein Inverses. Setze daher r ungleich 0 voraus.

Zeige dann zunächst, dass diese Abbildung injektiv ist. Daraus folgt dann auch die Surjektivität (warum?) und die 1 hat also ein Urbild.

Edit: Ein Homomorphismus ist das natürlich nicht, pardon. Braucht man aber auch nicht.
Desogude Auf diesen Beitrag antworten »

Sei ein endlicher kommutativer Ring mit Einselement und ohne Nullteiler

und mit der Abbildung mit festem


ist injektiv: Seien und und daraus folgt, dass

Daraus folgt direkt surjektivität: Wiederspruchsbeweis: wenn nicht injektiv => nicht surjektiv.
Wenn es und , sodass mit folgt kann höchstens n-1 Elemente enthalten, also ist nicht surjektiv.

damit existiert eine Umkehrabbildung und es existiert ein x zu einem festen r sodass rx=1

Wenn meine Menge die 1 enthält und die Abbildung injektiv ist, bedeutet es schon, dass auf die 1 abgebildet wird, stimmts?


injektiv <=> surjektiv folgt aus der Tatsache, dass die Menge endlich ist und auf sich selbst abbildet.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Ring -> Körper
Zitat:
Original von Desogude
Sei ein endlicher kommutativer Ring mit Einselement und ohne Nullteiler

Wenn du jetzt plötzlich das Nullelement rausnimmst, hast du doch keinen Ring mehr. Daher ist dieser Satz falsch. Und das musst/sollst du ja auch gar nicht machen. Ich hab nur gesagt, dass r ungleich 0 sein soll. Die Abbildung selbst bildet von R nach R ab, wie es in der Aufgabenstellung geschrieben steht. Nicht von irgendeinem R*.

Zitat:
Original von Desogude
ist injektiv: Seien und und daraus folgt, dass

Das ist ja kein Beweis, du hast nur die Definition hingeschrieben.

Was danach kommt, verstehe ich nicht so recht. Das ist im kein Widerspruchsbeweis, was du da durchführst. Auch keine Kontraposition. Du beschäftigst dich einfach mit einer ganz anderen Aussage.

Da ist im Prinzip auch nicht mehr viel zu beweisen. Wenn die Abbildung injektiv ist, bildet sie die Elemente aus R allesamt auf verschiedene Elemente wieder ab, und wenn eine injektive Abbildung in eine Menge von gleicher endlicher Mächtigkeit abbildet, folgt logischerweise die Surjektivität. So wie du es in deinem letzten Satz auch geschrieben hast.

Zitat:
Original von Desogude
Wenn meine Menge die 1 enthält und die Abbildung injektiv ist, bedeutet es schon, dass auf die 1 abgebildet wird, stimmts?

Die Injektivität hat damit gar nichts zu tun. Wichtig ist nur, dass es ein x gibt, sodass rx=1 gilt. Die Injektivität ist hier nur ein Mittel zum Zweck, um das eigentliche wichtige - nämlich die Surjektivität der Abbildung - nachzuweisen. Das ist der eigentliche Kern des Beweises dafür, dass R ein Körper ist.
Desogude Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Ring -> Körper
Also wenn meine Abbildung Surjektiv ist, dann wird auf jedes Element meiner Wertemenge abgebildet. D.h jedes Bild hat ein x.

Damit ist schon eingeschlossen , dass es ein x gibt welches auf die 1 abbildet ( das bereitet mir etwas Schwirigkeiten). Ich weiß ja noch nicht ob die 1 überhaupt in meiner Menge ist?

Ich habe die 0 rausgenommen, da ich dachte ich beweise, dass R auch eine multiplikative abelsche Gruppe ist (getrennt von der additiven) und die 0 ja kein inverses besitzt...
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Ring -> Körper
Zitat:
Original von Desogude
Ich weiß ja noch nicht ob die 1 überhaupt in meiner Menge ist?

Wieso nicht? Die Abbildung bildet surjektiv auf R ab. Das heißt, jedes Element in R wird "getroffen". Und nach Voraussetzung ist R ein Ring mit 1. Steht doch in der Aufgabenstellung. Die 1 ist also in R enthalten. Also wird auch die 1 getroffen. Die Gleichung rx=1 hat also eine Lösung. Wie die Lösung nun genau aussieht, wissen wir natürlich nicht, aber das ist ja auch Jacke wie Hose. Wichtig ist nur: Es gibt eine.

Zitat:
Original von Desogude
Ich habe die 0 rausgenommen, da ich dachte ich beweise, dass R auch eine multiplikative abelsche Gruppe ist (getrennt von der additiven) und die 0 ja kein inverses besitzt...

Wenn du zeigst, dass jedes von 0 verschiedene Element ein multiplikativ Inverses besitzt, ergibt sich dann doch automatisch, dass R\0 auch eine multiplikative Gruppe ist. Gerade das ist doch nur eine etwas anders formulierte Aussage dafür, dass R eben ein Körper ist.
 
 
Desogude Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Ring -> Körper
Zitat:
Original von Mulder
Wieso nicht? Die Abbildung bildet surjektiv auf R ab. Das heißt, jedes Element in R wird "getroffen". Und nach Voraussetzung ist R ein Ring mit 1. Steht doch in der Aufgabenstellung.


Hammer Hammer

Danke für deine ausführlichen Antworten. Ich werde es jetzt noch mal etwas sauberer formulieren.
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